Question

如圖，橢圓的兩頂點(diǎn)為，B（0，1），該橢圓的左右焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂．
（1）在線段AB上是否存在點(diǎn)C，使得CF₁⊥CF₂？若存在，請求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（2）設(shè)過F₁的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，求△PQF₂面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)橢圓的方程求得a和b，c，進(jìn)而求得焦點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出假設(shè)存在點(diǎn)C，使CF₁⊥CF₂，求得|OC|，令，利用求得λ的方程，解方程求得λ．
（2）設(shè)出P，Q的坐標(biāo)，通過焦半徑公式求得|PQ|的表達(dá)式，先看PQ⊥x軸時(shí)，則可求得x₁=x₂=-1進(jìn)而求得△PQF₂面積；再看PQ與x軸不垂直時(shí)，設(shè)出PQ的方程，由點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)F₂到PQ的距離表示出△PQF₂面積的表達(dá)式，利用基本不等式求得△PQF₂面積的范圍，最后綜合推斷出△PQF₂面積的最大值．
解答：解：由已知可得橢圓的方程為，
且有：，F(xiàn)₁（-1，0），
F₂（1，0），．
（1）假設(shè)存在點(diǎn)C，使得CF₁⊥CF₂，
則：，
令（λ∈[0，1]），
而=
，
故有：，解得λ=1或．
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（0，1）或．

（2）若設(shè)過F₁的直線l交橢圓于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則由焦半徑公式可得：，
當(dāng)PQ⊥x軸時(shí)，x₁=x₂=-1，此時(shí)．
當(dāng)PQ與x軸不垂直時(shí)，不妨設(shè)直線PQ的方程為y=k（x+1），（k＞0），
則由：得：（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0，故，
于是可得：．
又由點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)F₂到PQ的距離，
故．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101221355061058877/SYS201311012213550610588024_DA/20.png">，
所以．
綜上可知，當(dāng)直線PQ⊥x軸時(shí)，△PQF₂的面積取到最大值．
點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了運(yùn)用解析幾何的基礎(chǔ)知識解決實(shí)際問題的能力．