Question

如圖，橢圓的兩頂點為A（，0），B（0，1），該橢圓的左右焦點分別是F₁，F₂。

（1）在線段AB上是否存在點C，使得CF₁⊥CF₂？若存在，請求出點C的坐標；若不存在，請說明理由；
（2）設過F₁的直線交橢圓于P，Q兩點，求△PQF₂面積的最大值。

Answer 1

解：由已知可得橢圓的方程為，且有：，，，，
（1）假設存在點C，使得，
則：，
令（），
而，
故有：，解得或，
所以，點C的坐標為C（0，1）或。
（2）若設過的直線交橢圓于，
則由焦半徑公式可得：，
當軸時，，此時；
當PQ與x軸不垂直時，不妨設直線PQ的方程為，(k＞0)，
則由：，得，
故，
于是可得，
又由點到直線的距離公式可得點到PQ的距離，
故，
因為，
所以，
綜上可知，當直線PQ⊥x軸時，的面積取到最大值。