Question

設(shè)雙曲線S：

x2

a2

-

y2

b2

=1，M（x₀，y₀）∉S，且x₀y₀≠0．N（λx₀，λy₀），其中

1

λ

=

x02

a2

-

y02

b2

．過(guò)點(diǎn)N的直線L交雙曲線S于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作斜率為

b2x0

a2y0

的直線交雙曲線S于點(diǎn)C．求證：A，M，C三點(diǎn)共線．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），過(guò)點(diǎn)M作斜率為

b2x0

a2y0

的直線m，則直線m的方程為y-y0=

b2x0

a2y0

(x-x0)，設(shè)直線m交NA與點(diǎn)P、交NC于點(diǎn)Q，F(xiàn)（x_P，y_P）為BC中點(diǎn)．則

yP

xP

=

y0

x0

．從而M為PQ中點(diǎn)．設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y-λy₀=k（x-λy₀），x₁，x₂是方程

x2

a2

-

1

b2

[k(x-λx0)+λy0]2=1的兩根．由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能證明A，M，C三點(diǎn)共線．

解答： 證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
過(guò)點(diǎn)M作斜率為

b2x0

a2y0

的直線m，則直線m的方程為y-y0=

b2x0

a2y0

(x-x0)，①
設(shè)直線m交NA與點(diǎn)P、交NC于點(diǎn)Q，F(xiàn)（x_P，y_P）為BC中點(diǎn)．
由B，C∈S得：

x22

a2

-

y22

b2

=1，

x32

a2

-

y32

b2

=1．
兩式相減后化簡(jiǎn)后可得：

yP

xP

=

y0

x0

．
∴F在直線MN上．從而M為PQ中點(diǎn)．
設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y-λy₀=k（x-λy₀），②
故x₁，x₂是方程

x2

a2

-

1

b2

[k(x-λx0)+λy0]2=1的兩根．
整理得：（

1

a2

-

k

b2

）（x-λx₀）²+2（

λx0

a2

-

kλy0

b2

）•（x-λx₀）+λ2(

x02

a2

-

y02

b2

)-1=0，
將

1

λ

=

x02

a2

-

y02

b2

代入上式，得：
（

1

a2

-

k2

b2

）（x-λx₀）+2λ（

x0

a2

-

ky0

b2

）（x-λx₀）+λ-1=0，
將其視為關(guān)于（x-λx₀）的一元二次方程．由韋達(dá)定理，有

1

x1-λx0

+

1

x2-λx0

=

-2λ

λ-1

（

x0

a2

-

ky0

b2

），③
聯(lián)立①②，消去y得到

1

xP-λx0

=

λ

λ-1

（

ky0

b2

-

x0

a2

）．
比較③式得：

2

xP-λx0

=

1

x1-λx0

+

1

x2-λx0

．
從而

2

NP

=

1

NA

+

1

NB

．
下面利用平面幾何知識(shí)證明A，M，C三點(diǎn)共線．
首先假設(shè)A，M，C三點(diǎn)共線，來(lái)證明：

2

NP

=

1

NA

+

1

NB

．
過(guò)A做直線AD∥BC，交NC于D．設(shè)G為AD中點(diǎn)．
由于AD∥BC∥PQ，∴AD，BC，PQ的中點(diǎn)G，F(xiàn)，M共線（過(guò)點(diǎn)N）．
∴

NA

NB

=

AG

BF

=

AG

FC

=

AM

MC

=

AP

BP

=

NP-NA

NB-NP

．
整理即得：

2

NP

=

1

NA

+

1

NB

．
反之，用同一法可證明當(dāng)

2

NP

=

1

NA

+

1

NB

時(shí)，A，M，C三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三點(diǎn)共線的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線方程、雙曲線性質(zhì)、韋達(dá)定理等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．