Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²-2x-a²-a=0（a＞0）．
（1）求證：這個方程的一根大于2，一根小于2；
（2）若對于a=1，2，3，…，2010，2011時，相應(yīng)得到的一元二次方程的兩根分別為α₁和β₁，α₂和β₂，…，α₂₀₁₀和β₂₀₁₀，α₂₀₁₁和β₂₀₁₁．試求（

1

α1

+

1

α2

+…+

1

α2010

+

1

α2011

）+（

1

β1

+

1

β2

+…+

1

β2010

+

1

β2011

）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令f（x）=x²-2x-a²-a，由于f（2）=-a²-a＜0，可得這個方程f（x）=0的一根大于2，一根小于2．
（2）由條件利用韋達(dá)定理可得 α₁+β₁=1，α₁•β₁=-a²-a=-a（a+1）=-2；…，α₂₀₁₁+β₂₀₁₁=1，α₂₀₁₁•β₂₀₁₁=-2011×2012，而要求的式子即（

1

a1

+

1

β1

）+（

1

a2

+

1

β2

）+…+（

1

a2011

+

1

β2011

），即-[

1

2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2011×2012

]，再用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和．

解答： 解：（1）證明：關(guān)于x的一元二次方程x²-2x-a²-a=0（a＞0），令f（x）=x²-2x-a²-a，
由于f（2）=-a²-a＜0，可得這個方程的一根大于2，一根小于2．
（2）由條件利用韋達(dá)定理可得 α₁+β₁=1，α₁•β₁=-a²-a=-a（a+1）=-2；α₂+β₂=1，α₂•β₂=-a²-a=-a（a+1）=-6；…，
α₂₀₁₀+β₂₀₁₀=1，α₂₀₁₀•β₂₀₁₀=-a²-a=-2010×2011，α₂₀₁₁+β₂₀₁₁=1，α₂₀₁₁•β₂₀₁₁=-2011×2012，
∴（

1

α1

+

1

α2

+…+

1

α2010

+

1

α2011

）+（

1

β1

+

1

β2

+…+

1

β2010

+

1

β2011

）=（

1

a1

+

1

β1

）+（

1

a2

+

1

β2

）+…+（

1

a2011

+

1

β2011

）
=

α1+β1

α1•β1

+

α2+β2

α2•β2

+…+

α2011+β2011

α2011•β2011

=-[

1

2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2011×2012

]=-[1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2011

-

1

2012

]
=-（1-

1

2012

）=-

2011

2012

．

點(diǎn)評：本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，韋達(dá)定理以及用裂項(xiàng)法進(jìn)行數(shù)列求和，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．