Question

已知不等式組

3x+4y-10≥0 x≤4 y≤3

表示區(qū)域D，過區(qū)域D中任意一點(diǎn)P作圓x²+y²=1的兩條切線且切點(diǎn)分別為A、B，當(dāng)∠APB最大時(shí)，cos∠APB=（　�。�

• A、

  3

  2

• B、

  1

  2

• C、-

  3

  2

• D、-

  1

  2

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)數(shù)形結(jié)合求確定當(dāng)α最小時(shí)，P的位置，利用余弦函數(shù)的倍角公式，即可得到結(jié)論．

解答： 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖，要使∠APB最大，
則P到圓心的距離最小即可，
由圖象可知當(dāng)OP垂直直線3x+4y-10=0，
此時(shí)|OP|=

|-10|

32+42

=

10

5

=2，|OA|=1，
設(shè)∠APB=α，則∠APO=

α

2

，即sin

α

2

=

OA

OP

=

1

2

，
此時(shí)cosα=1-2sin²

α

2

=1-2×（

1

2

）²=1-

1

2

=

1

2

，
即cos∠APB=

1

2

．
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，要求熟練掌握兩角和的倍角公式．