Question

如圖，AB，CD均為圓O的直徑，CE⊥圓O所在的平面，BF∥CE．求證：
（1）平面BCEF⊥平面ACE；
（2）直線DF∥平面ACE．

Answer 1

證明：（1）因?yàn)镃E⊥圓O所在的平面，BC?圓O所在的平面，
所以CE⊥BC，…（2分）
因?yàn)锳B為圓O的直徑，點(diǎn)C在圓O上，所以AC⊥BC，…（3分）
因?yàn)锳C∩CE=C，AC，CE?平面ACE，
所以BC⊥平面ACE，…（5分）
因?yàn)锽C?平面BCEF，所以平面BCEF⊥平面ACE．…（7分）
（2）由（1）AC⊥BC，又因?yàn)镃D為圓O的直徑，
所以BD⊥BC，
因?yàn)锳C，BC，BD在同一平面內(nèi)，所以AC∥BD，…（9分）
因?yàn)锽D?平面ACE，AC?平面ACE，所以BD∥平面ACE．…（11分）
因?yàn)锽F∥CE，同理可證BF∥平面ACE，
因?yàn)锽D∩BF=B，BD，BF?平面BDF，
所以平面BDF∥平面ACE，
因?yàn)镈F?平面BDF，所以DF∥平面ACE．…（14分）
分析：（1）通過證明平面ACE內(nèi)的直線CE與AC都垂直BC，利用平面與平面垂直的判定定理證明平面BCEF⊥平面ACE；
（2）通過平面BDF∥平面ACE，利用DF?平面BDF，即可證明DF∥平面ACE．
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的判定定理，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．