Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線過點(diǎn)，其參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.以為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知曲線與曲線交于兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）曲線普通方程，曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）或.

【解析】

（1）將代入 得的普通方程；

將左右同時(shí)乘以得，再化簡得到曲線的直角坐標(biāo)方程。

（2）將代入，得，利用韋達(dá)定理與參數(shù)的幾何意義可求出實(shí)數(shù)的值。

（1）曲線參數(shù)方程為，

則其普通方程，

因?yàn)?/span>曲線的極坐標(biāo)方程為，

所以，

即，即曲線的直角坐標(biāo)方程.

（2）設(shè)兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為，，

將代入，得，

要使與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

則，即，

由韋達(dá)定理有，根據(jù)參數(shù)的幾何意義可知，，

又由可得，即或，

∴當(dāng)時(shí)，有，符合題意.

當(dāng)時(shí)，有，符合題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)的值為或.