Question

求下列冪函數(shù)的定義域，并指出其奇偶性、單調(diào)性．

(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝x^－2．

問(wèn)題1：觀察以上函數(shù)的解析式，你能發(fā)現(xiàn)解析式中對(duì)于自變量x都有哪些限制條件嗎？

問(wèn)題2：如何來(lái)判斷函數(shù)的奇偶性呢？

3．探究：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)我們以上的分析，把上述函數(shù)圖象的大概形狀畫出來(lái)．并總結(jié)歸納冪函數(shù)的指數(shù)變化時(shí)對(duì)冪函數(shù)定義域的影響．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)函數(shù)y＝即y＝，其定義域?yàn)閇0，＋∞)，所以它既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．

　　(2)函數(shù)y＝即y＝，其定義域?yàn)?B>R，是偶函數(shù)，它在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減．

　　(3)函數(shù)y＝即y＝，由x³＞0得其定義域?yàn)?0，＋∞)，所以它既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．

　　(4)函數(shù)y＝x^－2即y＝，由x²≠0得其定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，因此函數(shù)y＝x^－2在定義域上是偶函數(shù)，在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．

　　3．(1)α∈N₊時(shí)，x∈R；

　　(2)α∈Z且α≤0時(shí)，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)；

　　(3)α＝(其中m，n互質(zhì)，且m，n∈N₊)時(shí)，若m是偶數(shù)，則x∈{非負(fù)實(shí)數(shù)}，若m是奇數(shù)，則x∈R．

　　(4)α＝－(其中m，n互質(zhì)，且m，n∈N₊)時(shí)，若m是偶數(shù)，則x∈{正實(shí)數(shù)}，若m是奇數(shù)，則x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．

　　點(diǎn)評(píng)：這兩個(gè)變式考查了冪函數(shù)的定義和冪函數(shù)圖象特征的綜合應(yīng)用，尤其是冪指數(shù)的值對(duì)冪函數(shù)的單調(diào)性以及奇偶性的影響，這是學(xué)生在充分掌握冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)上才能解決的問(wèn)題．

提示：

　　1．結(jié)論：在函數(shù)解析式中含有分?jǐn)?shù)指數(shù)時(shí)，可以把它們的解析式化成根式，根據(jù)“偶次根號(hào)下非負(fù)”這一條件來(lái)求出對(duì)應(yīng)函數(shù)的定義域；當(dāng)函數(shù)的解析式的冪指數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，根據(jù)負(fù)指數(shù)冪的意義將其轉(zhuǎn)化為分式形式，根據(jù)“分式的分母不能為0”這一限制條件來(lái)求出對(duì)應(yīng)函數(shù)的定義域．

　　2．結(jié)論：首先要看函數(shù)的定義域是否關(guān)于數(shù)0對(duì)稱，然后根據(jù)定義域內(nèi)的任意自變量x是否有f(－x)＝f(x)，或f(－x)＝－f(x)來(lái)進(jìn)行判斷．