我們把同時(shí)滿(mǎn)足下列兩個(gè)性質(zhì)的函數(shù)稱(chēng)為“和諧函數(shù)”:
①函數(shù)在整個(gè)定義域上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù);
②在函數(shù)的定義域內(nèi)存在區(qū)間[p,q](p<q),使得函數(shù)在區(qū)間[p,q]上的值域?yàn)閇p2,q2].
(1)已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,2),判斷g(x)=f(x)+2(x∈R)是否是和諧函數(shù)?
(2)判斷函數(shù)h(x)=
1-x2(x≥1)
2-2x(x<1)
是否是和諧函數(shù)?
(3)若函數(shù)φ(x)=
x2-1
+t(1≤x≤
6
2
)
是和諧函數(shù),求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
分析:(1)利用冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,2),求出函數(shù)的表達(dá)式,然后判斷g(x)=f(x)+2(x∈R)是否是和諧函數(shù).
(2)直接利用新定義,判斷函數(shù)h(x)=
1-x2(x≥1)
2-2x(x<1)
是否滿(mǎn)足和諧函數(shù)的定義,即可推出結(jié)果;
(3)利用新定義,函數(shù)φ(x)=
x2-1
+t(1≤x≤
6
2
)
是和諧函數(shù),推出關(guān)系式即可求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
解答:解:(1)設(shè)f(x)=xα(α∈R),由f(2)=2α=2,得α=1,f(x)=x,g(x)=x+2在R上是增函數(shù),
g(p)=p+2=p2
g(q)=q+2=q2
(p<q)
,得p=-1,q=2
故g(x)=f(x)+2是和諧函數(shù).                  …(4分)
(2)易得h(x)為R上的減函數(shù),
①若p<q<1則
h(p)=2-2p=q2
h(q)=2-2q=p2
,相減得p+q=2與p<q<1矛盾;
②若1≤p<q則
h(p)=1-p2=q2
h(q)=1-q2=p2
,p2+q2=1與1≤p<q矛盾;
③若p<1≤q則
h(p)=2-2p=q2
h(q)=1-q2=p2
,p=1與p<1矛盾.
故h(x)不是和諧函數(shù).                …(8分)
(3)φ(x)=
x2-1
+t
[1,
6
2
]
上是增函數(shù),
由函數(shù)φ(x)=
x2-1
+t(1≤x≤
6
2
)
是和諧函數(shù)知,
函數(shù)φ(x)在[1,
6
2
]
內(nèi)存在區(qū)間[p,q](p<q),使得函數(shù)在區(qū)間[p,q]上的值域?yàn)閇p2,q2].
φ(p)=
p2-1
+t=p2
φ(q)=
q2-1
+t=q2

p2,q2(1≤p2q2
3
2
)
是方程
m-1
+t=m
在區(qū)間[1,
3
2
]
內(nèi)的兩個(gè)不等實(shí)根
?x2-x+1-t=0在區(qū)間[0,
2
2
]
內(nèi)的兩個(gè)不等實(shí)根,
(令
m-1
=x)
?
△=1-4(1-t)>0
0<
1
2
2
2
1-t≥0
1
2
-
2
2
+1-t≥0
?t∈(
3
4
,
3-
2
2
]
…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查新定義的理解以及應(yīng)用,考查函數(shù)與方程的關(guān)系,函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的定義域與函數(shù)的值域的綜合應(yīng)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log
1
3
x
,
(1)當(dāng)x∈[
1
3
,3]
時(shí),求f(x)的反函數(shù)g(x);
(2)求關(guān)于x的函數(shù)y=[g(x)]2-2ag(x)+3(a≤3)當(dāng)x∈[-1.1]時(shí)的最小值h(a);
(3)我們把同時(shí)滿(mǎn)足下列兩個(gè)性質(zhì)的函數(shù)稱(chēng)為“和諧函數(shù)”:
①函數(shù)在整個(gè)定義域上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù);
②在函數(shù)的定義域內(nèi)存在區(qū)間[p,q](p<q)使得函數(shù)在區(qū)間[p,q]上的值域?yàn)閇p2,q2].
(Ⅰ)判斷(2)中h(x)是否為“和諧函數(shù)”?若是,求出p,q的值或關(guān)系式;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(Ⅱ)若關(guān)于x的函數(shù)y=
x2-1
+t(x≥1)是“和諧函數(shù)”,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010年重慶市高一12月月考數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題

(12分)已知函數(shù),

(1)當(dāng)時(shí),求的反函數(shù)

(2)求關(guān)于的函數(shù) 當(dāng)時(shí)的最小值;

(3)我們把同時(shí)滿(mǎn)足下列兩個(gè)性質(zhì)的函數(shù)稱(chēng)為“和諧函數(shù)”:①函數(shù)在整個(gè)定義域上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù);②在函數(shù)的定義域內(nèi)存在區(qū)間使得函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052109491675004570/SYS201205210950590156769558_ST.files/image012.png">.

(Ⅰ)判斷(2)中是否為“和諧函數(shù)”?若是,求出的值或關(guān)系式;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(Ⅱ)若關(guān)于的函數(shù)是“和諧函數(shù)”,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年重慶一中高一(上)期末數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

我們把同時(shí)滿(mǎn)足下列兩個(gè)性質(zhì)的函數(shù)稱(chēng)為“和諧函數(shù)”:
①函數(shù)在整個(gè)定義域上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù);
②在函數(shù)的定義域內(nèi)存在區(qū)間[p,q](p<q),使得函數(shù)在區(qū)間[p,q]上的值域?yàn)閇p2,q2].
(1)已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,2),判斷g(x)=f(x)+2(x∈R)是否是和諧函數(shù)?
(2)判斷函數(shù)是否是和諧函數(shù)?
(3)若函數(shù)是和諧函數(shù),求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010-2011學(xué)年重慶一中高一(上)12月月考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知函數(shù),
(1)當(dāng)時(shí),求f(x)的反函數(shù)g(x);
(2)求關(guān)于x的函數(shù)y=[g(x)]2-2ag(x)+3(a≤3)當(dāng)x∈[-1.1]時(shí)的最小值h(a);
(3)我們把同時(shí)滿(mǎn)足下列兩個(gè)性質(zhì)的函數(shù)稱(chēng)為“和諧函數(shù)”:
①函數(shù)在整個(gè)定義域上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù);
②在函數(shù)的定義域內(nèi)存在區(qū)間[p,q](p<q)使得函數(shù)在區(qū)間[p,q]上的值域?yàn)閇p2,q2].
(Ⅰ)判斷(2)中h(x)是否為“和諧函數(shù)”?若是,求出p,q的值或關(guān)系式;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(Ⅱ)若關(guān)于x的函數(shù)y=+t(x≥1)是“和諧函數(shù)”,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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