Question

（選做B）已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²+alnx．
（1）若a=-1，求函數(shù)f（x）的極值，并指出是極大值還是極小值；
（2）若a=1，求證：在區(qū)間[1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象在函數(shù)g（x）=

2

3

x³的圖象的下方．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到函數(shù)的極值；
（2）構(gòu)造函數(shù)設(shè)F（x）=

1

2

x²+ln x-

2

3

x³，利用導(dǎo)數(shù)可知函數(shù)F（x）的單調(diào)性為遞減，從而可得F（x）＜F（1）=0可證．

解答：解：（1）由于函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)a=-1時(shí)，f′（x）=x-

1

x

=

(x-1)(x+1)

x

令f′（x）=0得x=1或x=-1（舍去），[（3分）]
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，因此函數(shù)f（x）在（0，1）上是單調(diào)遞減的，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，因此函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)遞增的，
則x=1是f（x）極小值點(diǎn)，
所以f（x）在x=1處取得極小值為f（1）=

1

2

；
（2）證明：設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x²+ln x-

2

3

x³，
則F′（x）=x+

1

x

-2x²=

-2x3+x2+1

x

=

-(x-1)(2x2+x+1)

x

，
當(dāng)x＞1時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，
故f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是單調(diào)遞減的，
又F（1）=-61＜0，
∴在區(qū)間[1，+∞）上，F(xiàn)（x）＜0恒成立．即f（x）-g（x）＜0 恒成立
即f（x）＜g（x）恒成立，
因此，當(dāng)a=1時(shí)，在區(qū)間[1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象在函數(shù)g（x）圖象的下方．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：求單調(diào)區(qū)間，求極值，解（2）的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題．