（選做B）已知函數(shù)f（x）=
1
2
x2+alnx．
（1）若a=-1，求函數(shù)f（x）的極值，并指出是極大值還是極小值；
（2）若a=1，求證：在區(qū)間[1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象在函數(shù)g（x）=
2
3
x3的圖象的下方．
分析：（1）求導數(shù)，利用導數(shù)的正負，可確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，進而得到函數(shù)的極值；
（2）構(gòu)造函數(shù)設(shè)F（x）=
1
2
x2+ln x-
2
3
x3，利用導數(shù)可知函數(shù)F（x）的單調(diào)性為遞減，從而可得F（x）＜F（1）=0可證．
解答：解：（1）由于函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
當a=-1時，f′（x）=x-
1
x
=
(x-1)(x+1)
x

令f′（x）=0得x=1或x=-1（舍去），[（3分）]
當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，因此函數(shù)f（x）在（0，1）上是單調(diào)遞減的，
當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，因此函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)遞增的，
則x=1是f（x）極小值點，
所以f（x）在x=1處取得極小值為f（1）=
1
2
；
（2）證明：設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=
1
2
x2+ln x-
2
3
x3，
則F′（x）=x+
1
x
-2x2=
-2x3+x2+1
x
=
-(x-1)(2x2+x+1)
x
，
當x＞1時，F(xiàn)′（x）＜0，
故f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是單調(diào)遞減的，
又F（1）=-61＜0，
∴在區(qū)間[1，+∞）上，F(xiàn)（x）＜0恒成立．即f（x）-g（x）＜0 恒成立
即f（x）＜g（x）恒成立，
因此，當a=1時，在區(qū)間[1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象在函數(shù)g（x）圖象的下方．
點評：本題主要考查了導數(shù)的應(yīng)用：求單調(diào)區(qū)間，求極值，解（2）的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的單調(diào)性問題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

本題設(shè)有（1）（2）（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題計分．作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑，并將所選題號填入括號中．
（1）已知矩陣M=
1a
b1
，N=
c2
0d
，且MN=
20
-20
，
（Ⅰ）求實數(shù)a，b，c，d的值；（Ⅱ）求直線y=3x在矩陣M所對應(yīng)的線性變換下的像的方程．
（2）在直角坐標系xoy中，直線l的參數(shù)方程為
x=3-
2
2
t
y=
5
-
2
2
t
（t為參數(shù)）．在極坐標系（與直角坐標系xoy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=2
5
sinθ．
（Ⅰ）求圓C的直角坐標方程；（Ⅱ）設(shè)圓C與直線l交于點A、B，若點P的坐標為(3，
5
)，
求|PA|+|PB|．
（3）已知函數(shù)f（x）=|x-a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集為{x|-1≤x≤5}，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若f（x）+f（x+5）≥m對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分，作答時，先在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號填入括號中．
（1）選修4-2：矩陣與變換
已知二階矩陣M=
a1
3d
有特征值λ=-1及對應(yīng)的一個特征向量e1=
1
-3
．
（Ⅰ）求距陣M；
（Ⅱ）設(shè)曲線C在矩陣M的作用下得到的方程為x2+2y2=1，求曲線C的方程．
（2）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為
x=2+t
y=t+1
(t為參數(shù)），曲線P在以該直角坐標系的原點O的為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系下的方程為p2-4pcosθ+3=0．
（Ⅰ）求曲線C的普通方程和曲線P的直角坐標方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線C和曲線P的交點為A、B，求|AB|．
（3）選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-2|，不等式t≤f（x）在x∈R上恒成立．
（Ⅰ）求實數(shù)t的取值范圍；
（Ⅱ）記t的最大值為T，若正實數(shù)a、b、c滿足a2+b2+c2=T，求a+2b+c的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)請考生在第（1），（2），（3）題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．
（1）選修4-1：幾何證明選講
如圖，在△ABC中，D是AC的中點，E是BD的中點，AE的延長線交BC于F．
（Ⅰ）求
BF
FC
的值；
（Ⅱ）若△BEF的面積為S1，四邊形CDEF的面積為S2，求S1：S2的值．
（2）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
以直角坐標系的原點O為極點，a=
π
6
軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的單位長度．已知直線l經(jīng)過點P（1，1），傾斜角a=
π
6
．
（ I）寫出直線l的參數(shù)方程；
（ II）設(shè)l與圓ρ=2相交于兩點A、B，求點P到A、B兩點的距離之積．
（3）選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|2x+1|+|2x-3|．
（I）求不等式f（x）≤6的解集；
（II）若關(guān)于x的不等式f（x）＞a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：高考真題 題型：解答題

（選做題）已知函數(shù)f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集為[-1，1]。
（1）求m的值；
（2）若a，b，c∈R，且，求證：a+2b+3c≥9。

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