Question

【題目】已知?jiǎng)又本�l與橢圓C：交于，兩個(gè)不同的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

若直線l過(guò)點(diǎn)，且原點(diǎn)到直線l的距離為，求直線l的方程；

若的面積，求證：和均為定值；

橢圓C上是否存在三點(diǎn)D、E、G，使得？若存在，判斷的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（3）見解析

【解析】

先設(shè)直線方程為，根據(jù)原點(diǎn)到直線l的距離為，列出方程即可求出，進(jìn)而可得出結(jié)果；

分直線斜率存在和不存在兩種情況討論，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理等即可證明結(jié)論成立；

先假設(shè)存在，，，使得，結(jié)合(2)中的結(jié)果推出矛盾即可.

設(shè)直線方程為，原點(diǎn)到直線l的距離為，，

解得時(shí)，此時(shí)直線方程為，

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，P，Q兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，

所以，，在橢圓上，

又，

由得，此時(shí)，；

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，是直線l的方程為，將其代入得

，

即，又，，

，

點(diǎn)O到直線l的距離為，

又，即

整理得，

此時(shí)，

；

綜上所述，結(jié)論成立．

橢圓C上不存在三點(diǎn)D，E，G，使得，

證明：假設(shè)存在，，，使得

由得，，；，，

解得；．

因此u，，只能從中選取，

v，，只能從中選取，

因此點(diǎn)D，E，G，只能在這四點(diǎn)中選取三個(gè)不同點(diǎn)，

而這三點(diǎn)的兩兩連線中必有一條過(guò)原點(diǎn)，與矛盾．

所以橢圓C上不存在滿足條件的三點(diǎn)D，E，G．