Question

工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，次品率與日產(chǎn)量（萬(wàn)件）間的關(guān)系（為常數(shù)，且），已知每生產(chǎn)一件合格產(chǎn)品盈利3元，每出現(xiàn)一件次品虧損1．5元

（1）將日盈利額（萬(wàn)元）表示為日產(chǎn)量（萬(wàn)件）的函數(shù)；

（2）為使日盈利額最大，日產(chǎn)量應(yīng)為多少萬(wàn)件？（注：）

 

Answer 1

（1）；（2）當(dāng)時(shí)，日產(chǎn)量為萬(wàn)件日盈利額最大；

當(dāng)時(shí)，日產(chǎn)量為3萬(wàn)件時(shí)日盈利額最大．

【解析】

試題分析：（1）要求日盈利額（萬(wàn)元），只要找出日產(chǎn)量（萬(wàn)件）中正品與次品的數(shù)量，根據(jù)分段函數(shù)分段特征，針對(duì)不同的次品率得到不同的正品與次品數(shù)即可；（2）根據(jù)（1）分兩段討論函數(shù)的最大值：當(dāng)時(shí)，易知其日盈利額為0；當(dāng)時(shí)，運(yùn)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性與最值中的應(yīng)用，求出其最大值．最后綜合兩種情況寫出所求結(jié)果即可．

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，

∴日盈利額（萬(wàn)元）與日產(chǎn)量（萬(wàn)件）的函數(shù)關(guān)系式為

．

（2）當(dāng)時(shí)，日盈利額為0；

當(dāng)時(shí)，；

，令得或（舍去）

∴當(dāng)時(shí)，

∴在上單增

∴最大值；

當(dāng)時(shí)，在上單增，在上單減

∴最大值．

綜上：當(dāng)時(shí)，日產(chǎn)量為萬(wàn)件日盈利額最大；

當(dāng)時(shí)，日產(chǎn)量為3萬(wàn)件時(shí)日盈利額最大．

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性與最值中的應(yīng)用．