Question

已知函數(shù)f(x)＝lnx－mx（mR）．
（1）若曲線y＝f(x)過點P(1，－1)，求曲線y＝f(x)在點P處的切線方程；
（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，e]上的最大值；
（3）若函數(shù)f(x)有兩個不同的零點x₁，x₂，求證：x₁x₂＞e²．

Answer 1

（1）;（2）①當(dāng)時，；②當(dāng)時，
③當(dāng)時，;（3）詳見解析．

試題分析：（1）根據(jù)題意首先由點在曲線上，運用待定系數(shù)的方法求出，再由切線與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系即可求出切線方程為;（2）對函數(shù)求導(dǎo)可得：，分析m對導(dǎo)數(shù)的影響，可見要進(jìn)行分類討論：①當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，利用單調(diào)性可求出最大值;②當(dāng)，即時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，利用單調(diào)性可求出最大值;③當(dāng)，即時，導(dǎo)數(shù)有下有負(fù)，列表可求出函數(shù)的最大值;④當(dāng)，即時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，利用單調(diào)性可求出最大值;（3）顯然兩零點均為正數(shù)，故不妨設(shè)，由零點的定義可得：，即，觀察此兩式的結(jié)構(gòu)特征可相加也可相減化簡得：，現(xiàn)在我們要證明，即證明，也就是．又因為，所以即證明，即．由它的結(jié)構(gòu)可令＝t，則，于是．構(gòu)造一新函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求此函數(shù)的最小值大于零，即可得證．
試題解析：（1）因為點在曲線上，所以，解得．
因為，所以切線的斜率為0，所以切線方程為．             3分
（2）因為．
①當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則．
②當(dāng)，即時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則                              5分
③當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則．                                      7分
④當(dāng)，即時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則               9分
綜上，①當(dāng)時，；
②當(dāng)時，
③當(dāng)時，．                        10分
（3）不妨設(shè)．因為，所以，
可得．
要證明，即證明，也就是．
因為，所以即證明，即．               12分
令＝t，則，于是．
令，則．
故函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，即成立．
所以原不等式成立．                                              16分