Question

如圖，在四面體ABCD中，△ABD、△ACD、△ABC都全等，且AB=AC=，BC=2，求二面角A-BC-D的大小.

Answer 1

思路點(diǎn)撥：本題要求二面角，首先根據(jù)二面角的平面角的定義構(gòu)造出對應(yīng)的二面角的平面角，結(jié)合已知條件中出現(xiàn)的線段相等，容易想到添加中點(diǎn)，從而得到相關(guān)的垂直關(guān)系而達(dá)到目的.

解：取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)AE、DE.

∵AB=AC,∴AE⊥BC.

又△ABD≌△DBC,AB=AC,

∴DB=DC,DE⊥BC.

∴∠AED為二面角ABCD的平面角.

又△ABC≌△DBC，且△ABC是以BC為底的等腰三角形，△DBC也是以BC為底的等腰三角形，所以AB=AC=DB=DC=.

又△ABD≌△BDC，∴AD=BC=2.

在Rt△DEB中，DB=，BE=1，

∴DE=.

同理，AE=.

在△AED中，AE=DE=，AD=2，AD²+DE²=AD²，∠AED=90°，即二面角ABCD的大小為90°.

［一通百通］ 有關(guān)求二面角的平面角問題的求解，通�？紤]根據(jù)二面角的平面角的定義構(gòu)造出相應(yīng)的平面角，而在構(gòu)造過程中，往往離不開添加垂線，利用線面垂直、面面垂直關(guān)系從而達(dá)到目的，最后問題通常轉(zhuǎn)化為解三角形.