Question

【題目】某市旅游局為盡快恢復(fù)受疫情影響的旅游業(yè)，準(zhǔn)備在本市的景區(qū)推出旅游一卡通(年卡).為了更科學(xué)的制定一卡通的有關(guān)條例，市旅游局隨機(jī)調(diào)查了2019年到本市景區(qū)旅游的1000個(gè)游客的年旅游消費(fèi)支出(單位：百元)，并制成如下頻率分布直方圖：

由頻率分布直方圖，可近似地認(rèn)為到本市景區(qū)旅游的游客，其旅游消費(fèi)支出服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).

（1） 若2019年到本市景區(qū)旅游游客為500萬(wàn)人，試估計(jì)2019年有多少游客在本市的年旅游消費(fèi)支出不低于1820元；

（2） 現(xiàn)依次抽取個(gè)游客，假設(shè)每個(gè)游客的旅游消費(fèi)支出相互獨(dú)立，記事件表示“連續(xù)3人的旅游消費(fèi)支出超出”.若表示的概率，為常數(shù))，且.

（ⅰ）求，及，；

（ⅱ）判斷并證明數(shù)列從第三項(xiàng)起的單調(diào)性，試用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解釋其實(shí)際意義.

參考數(shù)據(jù)：，，

Answer 1

【答案】（1）萬(wàn).（2）（ⅰ），，，.（ⅱ）數(shù)列從第三項(xiàng)起單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析，用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解釋其實(shí)際意義見(jiàn)解析

【解析】

（1）由直方圖求得的平均數(shù)，結(jié)合正態(tài)分布的概率計(jì)算，即可容易求得旅游費(fèi)用支出不低于元的概率，再乘以即可；

（2）（ⅰ）根據(jù)題意，即可容易求得，再列出方程，即可求得；

（ⅱ）根據(jù)遞推公式計(jì)算，即可判斷數(shù)列的單調(diào)性；再結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)行解釋.

（1）直方圖可得

∵，，

∴旅游費(fèi)用支出不低于元的概率為

，

∴，

估計(jì)年有萬(wàn)的游客在本市的年旅游費(fèi)用支出不低于元.

（2）（ⅰ），

，

所以

即

解得

（ⅱ）數(shù)列從第三項(xiàng)起單調(diào)遞減

，

故

又，所以，

即從第三項(xiàng)起數(shù)列單調(diào)遞減.

由此，可知隨著抽查人數(shù)的增加，事件“不連續(xù)3人的旅游費(fèi)用支出超出”

的可能性會(huì)越來(lái)越小. （即最終會(huì)出現(xiàn)連續(xù)3人的旅游費(fèi)用支出超出這一事件)