Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=2，求曲線y=f（x）在x=1處切線的斜率；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出導數(shù)，令x=1即可得到斜率；
（2）求出導數(shù)，討論①當a≥0時，②當a＜0時，分別求出單調(diào)區(qū)間，注意函數(shù)的定義域．

解答： 解：（1）a=2時，f（x）=2x+lnx的導數(shù)f′（x）=2+

1

x

，
f′（1）=2+1=3，
故曲線y=f（x）在x=1處切線的斜率為3；
（2）f′（x）=a+

1

x

=

ax+1

x

（x＞0），
①當a≥0時，由于x＞0，故ax+1＞0，f′（x）＞0，
所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）．
②當a＜0時，由f′（x）=0，得x=-

1

a

．
在區(qū)間（0，-

1

a

）上，f′（x）＞0，在區(qū)間（-

1

a

，+∞）上，f′（x）＜0，
所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，-

1

a

），單調(diào)遞減區(qū)間為（-

1

a

，+∞）．

點評：本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和求單調(diào)區(qū)間，考查分類討論的思想方法，注意函數(shù)的定義域，屬于中檔題．