設a∈R,函數f(x)=ax3-3x2.
(1)若x=2是函數y=f(x)的極值點,求實數a的值;
(2)若函數g(x)=exf(x)在[0,2]上是單調減函數,求實數a的取值范圍.
【答案】
分析:(1)由條件“x=2是函數y=f(x)的極值點”可知f'(2)=0,解出a,需要驗證在x=2處附近的導數符號有無改變;
(2)由在[0,2]上是單調減函數可轉化成在[0,2]上導函數恒小于零,再借助參數分離法分離出參數a,再利用導數法求出另一側的最值即可.
解答:解:(Ⅰ)f'(x)=3ax
2-6x=3x(ax-2).
因為x=2是函數y=f(x)的極值點,所以f'(2)=0,即6(2a-2)=0,
所以a=1.經檢驗,當a=1時,x=2是函數y=f(x)的極值點.
即a=1.(6分)
(Ⅱ)由題設,g′(x)=e
x(ax
3-3x
2+3ax
2-6x),又e
x>0,
所以,?x∈(0,2],ax
3-3x
2+3ax
2-6x≤0,
這等價于,不等式
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124551302733825/SYS201310251245513027338017_DA/0.png)
對x∈(0,2]恒成立.
令
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124551302733825/SYS201310251245513027338017_DA/1.png)
(x∈(0,2]),
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124551302733825/SYS201310251245513027338017_DA/2.png)
,
所以h(x)在區(qū)間(0,2]上是減函數,
所以h(x)的最小值為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124551302733825/SYS201310251245513027338017_DA/3.png)
.
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124551302733825/SYS201310251245513027338017_DA/4.png)
.即實數a的取值范圍為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124551302733825/SYS201310251245513027338017_DA/5.png)
.(13分)
點評:本題主要考查了利用導數研究函數的極值,以及利用導數研究函數的單調性,屬于中檔題.