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設a∈R,函數f(x)=ax3-3x2
(1)若x=2是函數y=f(x)的極值點,求實數a的值;
(2)若函數g(x)=exf(x)在[0,2]上是單調減函數,求實數a的取值范圍.
【答案】分析:(1)由條件“x=2是函數y=f(x)的極值點”可知f'(2)=0,解出a,需要驗證在x=2處附近的導數符號有無改變;
(2)由在[0,2]上是單調減函數可轉化成在[0,2]上導函數恒小于零,再借助參數分離法分離出參數a,再利用導數法求出另一側的最值即可.
解答:解:(Ⅰ)f'(x)=3ax2-6x=3x(ax-2).
因為x=2是函數y=f(x)的極值點,所以f'(2)=0,即6(2a-2)=0,
所以a=1.經檢驗,當a=1時,x=2是函數y=f(x)的極值點.
即a=1.(6分)
(Ⅱ)由題設,g′(x)=ex(ax3-3x2+3ax2-6x),又ex>0,
所以,?x∈(0,2],ax3-3x2+3ax2-6x≤0,
這等價于,不等式對x∈(0,2]恒成立.
(x∈(0,2]),

所以h(x)在區(qū)間(0,2]上是減函數,
所以h(x)的最小值為
所以.即實數a的取值范圍為.(13分)
點評:本題主要考查了利用導數研究函數的極值,以及利用導數研究函數的單調性,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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A、0B、1C、2D、-1

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