Question

已知函數(shù)．
（1）求；
（2）已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=F（a_n），求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（3）觀察已知函數(shù)可發(fā)現(xiàn)F（x）+F（1-x）=3，從而代入利用倒序相加可求
（2）由已知可得，求倒整理可構(gòu)造，即{}是等差數(shù)列，從而可求
（3）用放縮法證明．由（2n）²＞（2n）²-1=（2n-1）（2n+1），即，從而有，從而可證
解答：解：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024182603678543032/SYS201310241826036785430020_DA/5.png">
所以設(shè)S=①
S=②
①+②得：=3×2008=6024，
所以S=3012．
（2）由a_n+1=F（a_n）兩邊同減去1，得，
所以，
所以，是以2為公差以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，
所以．
（3）用放縮法證明．
∵（2n）²＞（2n）²-1=（2n-1）（2n+1），∴，
∴，
則，
所以，．
點(diǎn)評(píng)：本題（1）主要考查了利用倒序求，這也是等差數(shù)列的求和公式的推導(dǎo)方法，其關(guān)鍵是F（x）+F（1-x）=3，（2）主要考查了利用構(gòu)造等差數(shù)列求解通項(xiàng)公式．