Question

16．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=$\frac{n}{2}，n∈{N^*}$
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）設(shè)b_n=lg$\frac{1}{a_n}$，T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，求證：數(shù)列{T_n}中T₁最小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=$\frac{n}{2}，n∈{N^*}$與${a_1}+2{a_2}+{2^2}{a_3}+…+{2^{n-2}}{a_{n-1}}=\frac{n-1}{2}$相減，計算、整理即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過（I）可知b_n=nlg2，利用錯位相減法計算可知${T_n}=2lg2（{1-\frac{n+2}{{{2^{n+1}}}}}）$，利用作商法可知$f（n）=\frac{n+2}{{{2^{n+1}}}}$f（n）遞減，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：當(dāng)n=1時，${a_1}=\frac{1}{2}$． …（2分）
當(dāng)n≥2時，${a_1}+2{a_2}+{2^2}{a_3}+…+{2^{n-2}}{a_{n-1}}=\frac{n-1}{2}$，
相減得：${2^{n-1}}{a_n}=\frac{n}{2}-\frac{n-1}{2}=\frac{1}{2}$．
所以，當(dāng)n≥2時，${a_n}=\frac{1}{2^n}$．…（4分）
當(dāng)n=1時，${a_1}=\frac{1}{2}$也滿足上式，
所求通項公式${a_n}=\frac{1}{2^n}$…（5分）．
（Ⅱ）證明：由（I）可知b_n=nlg2，…（7分）
∴${T_n}={a_1}{b_1}+{a_2}{b_2}+…+{a_n}{b_n}=lg2[{1•（{\frac{1}{2}}）+2•{{（{\frac{1}{2}}）}^2}+…+n•{{（{\frac{1}{2}}）}^n}}]$，
$\frac{1}{2}{T_n}=lg2[{1•{{（{\frac{1}{2}}）}^2}+2•{{（{\frac{1}{2}}）}^3}+…+n•{{（{\frac{1}{2}}）}^{n+1}}}]$，…（9分）
相減得$\frac{1}{2}{T_n}=lg2[{\frac{1}{2}+{{（{\frac{1}{2}}）}^2}+…+{{（{\frac{1}{2}}）}^n}-n{{（{\frac{1}{2}}）}^{n+1}}}]$，
所以${T_n}=2lg2（{1-\frac{n+2}{{{2^{n+1}}}}}）$．…（11分）
設(shè)$f（n）=\frac{n+2}{{{2^{n+1}}}}$，則$f（{n+1}）=\frac{n+3}{{{2^{n+2}}}}$，
顯然$\frac{{f（{n+1}）}}{f（n）}=\frac{n+3}{2n+4}＜1$，…（13分）
即f（n）為減，從而T_n隨著n的增大而增大，
故T₁最�。� …（15分）

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，利用構(gòu)造方程組法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．