Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁=AC=BC=2，∠ACB=90°，P是AA₁的中點(diǎn)，Q是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：PQ⊥平面B₁CQ；
（2）求平面B₁CQ和平面A₁C₁Q所成銳二面角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)，，則PQ⊥CQ，PQ⊥B₁Q，滿足線面垂直的判定定理；
（2）先求出平面A₁C₁Q的一個(gè)法向量，而是平面B₁CQ的一個(gè)法向量，然后利用向量的夾角公式進(jìn)行求解即可．
解答：解：（1）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．             …（1分）
由題意可知C（0，0，0），P（2，0，1），Q（1，1，0），B₁（0，2，2），…（4分）
則
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024190512093870377/SYS201310241905120938703019_DA/6.png">，∴PQ⊥CQ，PQ⊥B₁Q，…（6分）∴PQ⊥平面B₁CQ  …（7分）
（2）由題意可知C₁（0，0，2），A₁（2，0，2），
設(shè)平面A₁C₁Q的一個(gè)法向量為
則由，∴平面A₁C₁Q的一個(gè)法向量可以是（0，1，2）…（11分）
又由（1）可知是平面B₁CQ的一個(gè)法向量．…（12分）
設(shè)平面B₁CQ和平面A₁C₁Q所成銳二面角為α，則，
∴平面B₁CQ和平面A₁C₁Q所成銳二面角的大小為…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面垂直的判定，以及二面角的度量，同時(shí)考查了利用空間向量解立體幾何問題，屬于中檔題．