Question

已知圓C：（x+1）²+y²=2，過(guò)點(diǎn)A（1，0）的直線(xiàn)l將圓C的圓周分成兩段弧，且兩段弧長(zhǎng)之比為1：3，則直線(xiàn)l的斜率為

±

3

3

．

Answer 1

分析：設(shè)過(guò)A的直線(xiàn)方程為y=k（x-1），根據(jù)過(guò)點(diǎn)A（1，0）的直線(xiàn)l將圓C的圓周分成兩段弧，且兩段弧長(zhǎng)之比為1：3，得到

DE

度數(shù)為90°，即三角形DCE為等腰直角三角形，由CF垂直于DE得到CF為斜邊上的中線(xiàn)，求出CF的長(zhǎng)，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

解答：解：設(shè)過(guò)A（1，0）的直線(xiàn)l方程為y=k（x-1），
∵過(guò)點(diǎn)A（1，0）的直線(xiàn)l將圓C的圓周分成兩段弧，且兩段弧長(zhǎng)之比為1：3，
∴

DE

度數(shù)為90°，即∠DCE=90°，
∴△DCE為等腰直角三角形，且DC=EC=

2

，
∴根據(jù)勾股定理得：DE=

DC2+CE2

=2，
∵CF⊥DE，即CF為斜邊上的中線(xiàn)，
∴CF=

1

2

DE=1，
即圓心C（-1，0）到直線(xiàn)y=k（x-1）的距離d=1，即

|-2k|

k2+1

=1，
解得：k=±

3

3

．
故答案為：±

3

3

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)題意得出△DCE為等腰直角三角形是解本題的關(guān)鍵．