Question

已知x₁，x₂是函數(shù)f（x）=4cosωxsin（ωx+

π

6

）+1兩相鄰零點(diǎn)，且滿足|x₁-x₂|=π，其中ω＞0．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

4

]上的最大值與最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的定義域和值域

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角和公式和二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理，利用兩相鄰零點(diǎn)的距離推斷出函數(shù)的最小正周期，進(jìn)而求得ω．
（2）根據(jù)x的范圍，確定2x+

π

6

的范圍，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大和最小值．

解答： 解：（1）f（x）=4cosωxsin（ωx+

π

6

）+1=2

3

sinωxcosωx+2cos²ωx+1=2（

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx）+2=2sin（2ωx+

π

6

）+2，
∵|x₁-x₂|=π，
∴T=

2π

2ω

π，
∴ω=1．
（2）由（1）知f（x）=2sin（2x+

π

6

）+2，
∵x∈[-

π

6

，

π

4

]，
∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，
∴當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時(shí)，f（x）取最大值4，
當(dāng)2x+

π

6

=-

π

6

，即x=-

π

6

時(shí)，f（x）取最小值1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象和性質(zhì)．考查了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．