Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)F₁（0，-2），且離心率e滿足：，e，成等比數(shù)列．
（1）求橢圓方程；
（2）直線y=x+1與橢圓交于點(diǎn)A，B．求△AOB的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意e=，F(xiàn)₁（0，-2），c=2，a=3，b=1，由此能求出橢圓方程．
（2）由，得5x²+x-4=0，故|AB|=，又O到直線y=x+1的距離為，由此能求出△AOB的面積．
解答：（本題滿分12分）
解：（1）∵，e，成等比數(shù)列，
∴，∴e=…（1分）．
∵橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)F₁（0，-2），
∴F₁（0，-2），c=2…（2分），
∴a===3，b==1，…（4分）
∴所求方程為x²+y²=1．…（5分）
（2）由消去y，得5x²+x-4=0，…7分
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，，
∴|AB|==…（9分）
又O（0，0）到直線y=x+1的距離d==…（11分）
∴△AOB的面積S==．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程和求法和三角形面積的求法，具體涉及到橢圓的基礎(chǔ)知識(shí)，直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式等基本知識(shí)點(diǎn)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．