Question

7．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一個焦點與拋物線y²=4x的焦點重合，則雙曲線的離心率等于$\sqrt{5}$，則該雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{5}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{5}}$=1．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的方程算出其焦點為（1，0），從而得出雙曲線的右焦點為F（1，0）．再設(shè)出雙曲線的方程，利用離心率的公式和a、b、c的平方關(guān)系建立方程組，解出a、b的值即可得到該雙曲線的方程．

解答 解：∵拋物線方程為y²=4x，∴2p=4，得拋物線的焦點為（1，0）．
∵雙曲線的一個焦點與拋物y²=4x的焦點重合，
∴雙曲線的右焦點為F（1，0）
∴a²+b²=1…①
∵雙曲線的離心率等$\sqrt{5}$，∴$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，即$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}$=5…②
由①②聯(lián)解，得a²=$\frac{1}{5}$，b²=$\frac{4}{5}$，
∴該雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{5}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{5}}$=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{5}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{5}}$=1．

點評 本題給出拋物線的焦點為雙曲線右焦點，求雙曲線的方程．著重考查了拋物線、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．