Question

提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況，在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當橋上的車流密度達200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明：當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)，
(1)當0≤x≤200時，求函數(shù)v(x)的表達式；
(2)當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時)f(x)=x·v(x)可以達到最大，并求出最大值．(精確到1輛/小時)

Answer 1

解：(1)由題意：當0≤x≤20時，v(x)=60；
當20≤x≤200時，設v(x)=ax+b，
再由已知得，解得，
故函數(shù)v(x)的表達式為；
(2)依題意并由(1)可得，
當0≤x≤20時，f(x)為增函數(shù)，故當x=20時，其最大值為60×20=1200；
當20≤x≤200時，，
當且僅當x=200-x，即x=100時，等號成立，
所以，當x=100時，f(x)在區(qū)間[20，200]上取得最大值；
綜上，當x=100時，f(x)在區(qū)間[0，200]上取得最大值≈3333，即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時．