Question

4．若函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，又f（3）=0，則$\frac{f（x）+f（-x）}{2x}＜0$的解集為（　　）

• A． （-3，3）
• B． （-3，0）∪（3，+∞）
• C． （-∞，-3）∪（0，3）
• D． （-∞，-3）∪（3，+∞）

Answer 1

分析 利用函數(shù)的奇偶性將不等式進行化簡，然后利用函數(shù)的單調性確定不等式的解集．

解答 解：因為y=f（x）為偶函數(shù)，所以$\frac{f（x）+f（-x）}{2x}=\frac{2f（x）}{2x}=\frac{f（x）}{x}＜0$，
所以不等式等價為$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$．
因為函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，又f（3）=0，
所以解得x＞3或-3＜x＜0，
即不等式的解集為（-3，0）∪（3，+∞）．
故選：B．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用，利用數(shù)形結合的思想是解決本題的關鍵．