Question

在如圖1所示的多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，ED⊥平面ABCD，ED∥FC，ED=

1

2

FC，M是AF的中點．
（Ⅰ）求證：EM∥平面ABCD；
（Ⅱ）求證：平面AEF⊥平面FAC；
（Ⅲ）若圖2是該多面體的側(cè)視圖，求四棱錐A-CDEF的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連接AC，BD，設(shè)AC∩BD=O，連接OM，證明EM∥DO，利用直線與平面平行的判定定理證明EM∥平面ABCD．
（Ⅱ）證明CF⊥底面ABCD，DO⊥平面FAC．然后證明EM⊥平面FAC．利用平面與平面垂直的判定定理證明平面AEF⊥平面FAC．
（Ⅱ）說明AD⊥平面EDCF．得到棱錐的高，然后代入體積公式求解即可．

解答： 滿分（12分）．
解：（Ⅰ）連接AC，BD，設(shè)AC∩BD=O，則O為BD的中點．
連接OM，則MO∥FC，且MO=

1

2

FC．…1′分
又∵ED∥FC，且ED=

1

2

FC，∴MO∥ED，且MO=ED，
∴EDOM是平行四邊形，EM∥DO．…（2分）
∵EM?平面ABCD，DO?平面ABCD，
∴EM∥平面ABCD．  …（4分）
（Ⅱ）∵ED∥FC，ED⊥底面ABCD，
∴CF⊥底面ABCD，…（5分）
又∵DO?平面ABCD，∴CF⊥DO．
∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥DO．
∵CF，AC?平面FAC，CF∩AC=C，
∴DO⊥平面FAC．…（7分）
由（Ⅰ）知EM∥DO，
∴EM⊥平面FAC．  …（8分）
又∵EM?平面AEF，∴平面AEF⊥平面FAC． …（9分）
（Ⅱ）由側(cè)視圖可知，ED=2，DC=CF=4．…（10分）
∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=4．
∵ED⊥平面ABCD，AD?面ABCD，∴ED⊥AD，
又∵AD⊥DC，ED∩DC=D，∴AD⊥平面EDCF． …（11分）
則VA-EDCF=

1

3

•AD•SEDCF=

1

3

×4×

(2+4)×4

2

=16．…（12分）

點評：本小題主要考查空間中直線與平面的位置關(guān)系、幾何體體積等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力及運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等．