Question

矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-2，1），B（2，1），C（2，-1），D（-2，-1），過(guò)原點(diǎn)且互相垂直的兩條直線分別與矩形的邊相交于E、F、G、H四點(diǎn)，則四邊形EGFH的面積的最小值為

 

，最大值為

 

．

Answer 1

分析：求出舉行的各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出長(zhǎng)和寬，計(jì)算舉行的面積，S=2（k+

1

k

），利用函數(shù)
S=2（k+

1

k

） 在[

1

2

，1]上是減函數(shù)，在[1，2]上是增函數(shù)，故k=1時(shí)，S有最小值，最大值是k=

1

2

時(shí)的S值，
或當(dāng) k=2時(shí)的S值，計(jì)算可得答案．

解答：解：設(shè)過(guò)原點(diǎn)且互相垂直的兩條直線分別為  y=kx，和 y=-

1

k

x，（不妨設(shè)k＞0）由題意得，
則 E （

1

k

，1），F(xiàn) （-

1

k

，-1），G（-k，1），H（k，-1），
由兩點(diǎn)間的距離公式得 EF=

( 2 k )2+22

=2

1+ 1 k2

，GH=

(2K)2+4

=2

1+k2

，
四邊形EGFH的面積為 S=

1

2

•EF•GH=2

2+k2+ 1 k2

=2

(k+ 1 k )2

=2|k+

1

k

|=2（k+

1

k

）．
根據(jù)E、G 兩點(diǎn)都在線段AB上，可得-2≤

1

k

≤2，且-2≤-k≤2，∴

1

2

≤k≤2．
又函數(shù) S=2（k+

1

k

） 在[

1

2

，1]上是減函數(shù)，在[1，2]上是增函數(shù)，故 k=1時(shí)，S有最小值為4．
當(dāng) k=

1

2

時(shí)，S=5；   當(dāng) k=2時(shí)，S=5．  當(dāng) k=0時(shí)，S=4．
綜上，S的最小值等于4，最大值等于 5，
故答案為 4，5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的最值，兩直線垂直的性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，其中，確定一直線的斜率
k的范圍是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．