Question

已知函數f（x）對任意實數x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y）且當x＞0，f（x）＜0．
（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性，并證明之；
（Ⅱ）判斷f（x）的單調性，并證明之．

Answer 1

解 （Ⅰ）函數f（x）為奇函數．…（2分）
證明：∵函數f（x）的定義域為R，而在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y為-x，
則有f（0）=f（x）+f（-x）…（4分）
又將x，y都取0代入得f（0）=0，即：f（-x）=-f（x），
又由x在R中的任意性可知，函數f（x）為奇函數．…（6分）
（Ⅱ）函數f（x）在R上為單調減函數…（8分）
證明：在R上任取x₁，x₂，且令△x=x₁-x₂＞0，
由△y=f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂+x₂）-f（x₂）=f（△x）+f（x₂）-f（x₂）=f（△x）…（10分）
又由題可知當x＞0，f（x）＜0，故f（△x）＜0，從而△y＜0，
這樣就說明了函數f（x）在R上為單調減函數．…（12分）
分析：（Ⅰ）令x=y=0求得f（0）=0，令y為-x，f（x）+f（-x）=f（0）=0，即可判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）利用單調性的定義即可判斷f（x）的單調性，在R上任取x₁，x₂，且令△x=x₁-x₂＞0，可證得△y=f（x₁）-f（x₂）＜0，問題得到解決．
點評：本題考查抽象函數及其應用，難點在于△y=f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂+x₂）-f（x₂）的轉化，突出考查轉化思想與綜合應用單調性定義解決問題的能力，屬于中檔題．