Question

已知向量m=(2cos2x，sinxcosx)，n=(a，b)，f(x)=m•n-

3

2

，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

12

對(duì)稱，且f(0)=

3

2

（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣平移變換能使所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)？

Answer 1

分析：先求出f（x）的解析式，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，具體是：先把函數(shù)式化成形如y=Asin（ωx+φ）（ω＞0）的形式，（1）根據(jù)T=

2π

ω

，確定函數(shù)的同期；（2）再根據(jù)基本三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出x所在的區(qū)間．（3）偶函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取最值．

解答：解：（1）f（x）=

m

•

n

-

3

2

=2acos2x+bsinxcosx- 

3

2

=a(cos2x+1)+

b

2

sin2x-

3

2

=acos2x+

b

2

sin2x+a-

3

2

∵且f(0)=

3

2

∴a=

3

2

又∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

12

對(duì)稱
∴f（

π

6

）=f（0）∴b=1
∴f（x）=

3

2

cos2x+

1

2

sin2x=sin(2x+

π

3

)
∴T=

2π

ω

=π
（2）當(dāng)f（x）單調(diào)遞增時(shí)，-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，(k∈Z)
∴-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，(k∈Z)
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[ -

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ](k∈Z)
（3）f（x）=sin（2x+

π

3

）=cos2（x-

π

12

）
∴f（x）的圖象向左平移

π

12

個(gè)單位后，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：在求正弦型函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，要遵循以下步驟：①先把函數(shù)式化成形如y=Asin（ωx+φ）（ω＞0）的形式?②根據(jù)T=

2π

ω

，確定函數(shù)的同期?③再根據(jù)基本三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出x所在的區(qū)間?④偶函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取最值．