Question

已知向量

m

=（1，1），向量

n

與向量

m

的夾角為

3π

4

，且

m

•

n

=-1
（1）求向量

n

；
（2）設(shè)向量

a

=（1，0），向量

b

=(cosx，2cos2(

π

3

-

x

2

))，若

a

•

n

=0，記函數(shù)f(x)=

m

•(

n

+

b

)，求此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和對稱軸方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)所求向量坐標為（x，y），利用向量數(shù)量積的坐標運算和夾角公式列出關(guān)于x、y的方程組，解方程組即可得所求
（2）先利用向量數(shù)量積運算法則將函數(shù)f（x）化為三角函數(shù)式，再利用二倍角公式，兩角和的正弦公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)，最后利用正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)通過解不等式求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和對稱軸方程．

解答：解：（1）設(shè)

n

=（x，y），依題意

x+y=-1 x+y 2 x2+y2 =cos 3π 4

即

x+y=-1 -1 2 x2+y2 =- 2 2

，解得

x=0 y=-1

或

x=-1 y=0

∴

n

=（0，-1）或

n

=（-1，0）
（2）∵

a

•

n

=0，∴

n

=（0，-1）
∵f(x)=

m

•(

n

+

b

)=（1，1）•(cosx，2cos2(

π

3

-

x

2

)-1)=cosx+2cos2(

π

3

-

x

2

)-1=cosx+cos2(

π

3

-

x

2

)=

1

2

cosx+

3

2

sinx=sin（x+

π

6

）
由2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，得2kπ-

2π

3

≤x≤2kπ+

π

3

，
∴此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-

2π

3

，2kπ+

π

3

]
由x+

π

6

=kπ+

π

2

，得x=kπ+

π

3

，
∴此函數(shù)的對稱軸方程為x=kπ+

π

3

，

點評：本題考察了向量的坐標表示，向量的數(shù)量積運算及其性質(zhì)，向量的夾角公式，向量垂直的充要條件，三角變換公式及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)