已知為實(shí)數(shù),數(shù)列滿足,當(dāng)時(shí),,

(Ⅰ);(5分)

(Ⅱ)證明:對(duì)于數(shù)列,一定存在,使;(5分)

(Ⅲ)令,當(dāng)時(shí),求證:(6分)

 

【答案】

(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ)詳見解析

【解析】

試題分析:(Ⅰ)根據(jù)題意可得當(dāng)時(shí),成等差數(shù)列,當(dāng)時(shí),,可見由得出前項(xiàng)成等差數(shù)列,項(xiàng)以后奇數(shù)項(xiàng)為,偶數(shù)項(xiàng)為,這樣結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)公式就可求出;(Ⅱ)以為界對(duì)進(jìn)行分類討論,當(dāng)時(shí),顯然成立;當(dāng)時(shí),由題中所給數(shù)列的遞推關(guān)系,不難得到;當(dāng)時(shí),得,可轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)的情況,命題即可得證; (Ⅲ)由可得,根據(jù)題中遞推關(guān)系可得出,進(jìn)而可得出=,又,由于要對(duì)分奇偶性,故可將相鄰兩整數(shù)當(dāng)作一個(gè)整體,要證不等式可進(jìn)行適當(dāng)放縮,要對(duì)分奇偶性,并結(jié)合數(shù)列求和的知識(shí)分別進(jìn)行證明即可.

試題解析:(Ⅰ)由題意知數(shù)列的前34項(xiàng)成首項(xiàng)為100,公差為-3的等差數(shù)列,從第35項(xiàng)開始,奇數(shù)項(xiàng)均為3,偶數(shù)項(xiàng)均為1,從而= (3分)

=.        (5分)

(Ⅱ)證明:①若,則題意成立                 (6分)

②若,此時(shí)數(shù)列的前若干項(xiàng)滿足,即.

設(shè),則當(dāng)時(shí),.

從而此時(shí)命題成立                    (8分)

③若,由題意得,則由②的結(jié)論知此時(shí)命題也成立.

綜上所述,原命題成立                   (10分)

(Ⅲ)當(dāng)時(shí),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032304535271873000/SYS201403230454232500450627_DA.files/image023.png">,

所以=       (11分)

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032304535271873000/SYS201403230454232500450627_DA.files/image039.png">>0,所以只要證明當(dāng)時(shí)不等式成立即可.

             (13分)

①當(dāng)時(shí),

  (15分)

②當(dāng)時(shí),由于>0,所以<

綜上所述,原不等式成立                      (16分)

考點(diǎn):1.數(shù)列的遞推關(guān)系;2.等差,等比數(shù)列的前n項(xiàng)和;3.不等式的證明

 

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