Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sin（x+

π

4

）cos（x+

π

4

）-sin（2x+π）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若將f（x）的圖象向右平移

π

12

個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）函數(shù)f（x）解析式第一項(xiàng)利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，第二項(xiàng)利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)后再利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式即可求f（x）的最小正周期，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可確定出單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）利用平移規(guī)律，根據(jù)f（x）得到g（x）解析式，確定出函數(shù)g（x）的值域，即可確定出最大值與最小值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2

3

sin（x+

π

4

）cos（x+

π

4

）-sin（2x+π）
=

3

sin（2x+

π

2

）+sin2x
=

3

cos2x+sin2x
=2sin（2x+

π

3

），
∵ω=2，
∴f（x）的最小正周期為π；
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得：kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z，
則f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z；
（Ⅱ）根據(jù)題意得：g（x）=2sin[2（x-

π

12

）+

π

3

]=2sin（2x+

π

6

），
∵2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴-1≤2sin（2x+

π

6

）≤2，
則f（x）的最大值為2，最小值為-1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及三角函數(shù)的變換，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．