如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AC＝AB＝AA1，E是BC的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求異面直線AE與A1C所成的角；

(Ⅱ)若G為C1C上一點(diǎn)，且EG⊥A1C，求二面角A1－AG－E的大�。�

答案：
解析：

　　解法一：

　　(Ⅰ)取的中點(diǎn)，連，則∥，

　　∴或其補(bǔ)角是異面直線與所成的角．　1分

　　設(shè)，則，

　　．

　　∴．　3分

　　∵在中，．　5分

　　∴異面直線與所成的角為．　6分

　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知，．

　　因?yàn)槿庵?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4967/0029/34d0e6b4c98c18a2578e92511aa1d50b/C/Image119.gif" width=96 HEIGHT=22>是直三棱柱，∴平面，

　　又∵

　　∴．　7分

　　∴．

　　∴～．

　　∴．

　　即得，所得是的中點(diǎn)．　8分

　　連結(jié)，設(shè)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，連結(jié)則

　　．

　　又∵平面平面

　　∴平面．　9分

　　而，∴，∴是二面角的平面角．　10分

　　由得．

　　即二面角的為．

　　∴所求二面角為．　12分

　　解法二：

　　(Ⅰ)如圖分別以、、所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)

　　系．　1分

　　設(shè)，則、、、

　　、．　2分

　　∴，

　　∴．　5分

　　∴異面直線與所成的角為．　6分

　　(Ⅱ)設(shè)，則，

　　由得，知，

　　∴．　8分

　　設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

　　則，∵，

　　∴，取，得．　9分

　　易知平面的一個(gè)法向量，

　　∴．　11分

　　∴二面角的大小為．　12分


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如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；　

(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離．

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    如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一[來(lái)源:]

P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

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    如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一

P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；   

(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離．

 

 

 

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（I）求證：CD=C1D；
（II）求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；
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