Question

設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁．F₂．A是橢圓上的一點(diǎn)，AF₂⊥F₁F₂，原點(diǎn)O到直線AF₁的距離為

1

3

|OF₁|；
（1）求橢圓的離心率；
（2）若左焦點(diǎn)F₁（-1，0）設(shè)過點(diǎn)F₁且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于B，C兩點(diǎn)，線段BC的垂直平分線與x軸交于G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題設(shè)AF₂⊥F₁F₂，及F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），設(shè)點(diǎn)A（c，y），則

c2

a2

+

y2

b2

=1，由此利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合已知條件得e=

2

2

．
（2）由已知求出橢圓的方程為

x2

2

+y2=1，設(shè)直線BC的方程為y=k（x+1）（k≠0），代入橢圓方程，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍．

解答： 解：（1）由題設(shè)AF₂⊥F₁F₂，及F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
不妨設(shè)點(diǎn)A（c，y），其中y＞0．
由于點(diǎn)A在橢圓上，有

c2

a2

+

y2

b2

=1，
即

a2-b2

a2

+

y2

b2

=1，解得y=

b2

2ac

，從而得A(c，

b2

a

)．…（2分）
直線AF₁的方程為y=

b2

a

(x+c)，整理得b2x-2acy+b2c=0．
由題設(shè)，原點(diǎn)O到直線AF₁的距離為

1

3

|OF1|，即

c

3

=

b2c

b4+4a2c2

，…（4分）
將b²=a²-c²代入到上式并化簡，得a²=2c²，
進(jìn)而求得e=

2

2

．…（6分）
（2）∵左焦點(diǎn)F₁（-1，0），∴橢圓的方程為

x2

2

+y2=1．…（7分）
設(shè)直線BC的方程為y=k（x+1）（k≠0），
代入橢圓方程，并整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．
記B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），BC中點(diǎn)N（x₀，y₀）
則x1+x2=-

4k2

2k2+1

，x0=

1

2

(x1+x2)=-

2k2

2k2+1

，
y0=k(x0+1)=

k

2k2+1

，…（10分）
∴BC的垂直平分線NG的方程為y-y0=-

1

k

(x-x0)…（11分）
令y=0得xG=x0+ky0=-

2k2

2k2+1

+

k2

2k2+1

=-

k2

2k2+1

=-

1

2

+

1

4k2+2

，…（12分）∵k≠0，∴-

1

2

＜xG＜0．…（13分）
即點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為(-

1

2

，0)．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓離心率的求法，考查點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．