Question

15．已知點P是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）右支上一點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線的左、右焦點，I為△PF₁F₂的內(nèi)心，若S${\;}_{△IP{F}_{1}}$=S${\;}_{△IP{F}_{2}}$$+\frac{1}{2}$S${\;}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$成立，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． 4
• B． $\frac{5}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)圓I與△PF₁F₂的三邊F₁F₂、PF₁、PF₂分別相切于點E、F、G，連接IE、IF、IG，可得△IF₁F₂，△IPF₁，△IPF₂可看作三個高相等且均為圓I半徑r的三角形．利用三角形面積公式，代入已知式S${\;}_{△IP{F}_{1}}$=S${\;}_{△IP{F}_{2}}$$+\frac{1}{2}$S${\;}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$，化簡可得|PF₁|-|PF₂|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|，再結(jié)合雙曲線的定義與離心率的公式，可求出此雙曲線的離心率．

解答 解：如圖，設(shè)圓I與△PF₁F₂的三邊F₁F₂、PF₁、PF₂分別相切于點E、F、G，連接IE、IF、IG，
則IE⊥F₁F₂，IF⊥PF₁，IG⊥PF₂，它們分別是：
△IF₁F₂，△IPF₁，△IPF₂的高，
∴S${\;}_{△IP{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}$×|PF₁|×|IF|=$\frac{r}{2}$|PF₁|，
${S}_{△IP{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$×|PF₂|×|IG|=$\frac{r}{2}$|PF₂|，
S${\;}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$×|F₁F₂|×|IE|=$\frac{r}{2}$|F₁F₂|，其中r是△PF₁F₂的內(nèi)切圓的半徑．
∵S${\;}_{△IP{F}_{1}}$=S${\;}_{△IP{F}_{2}}$$+\frac{1}{2}$S${\;}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$，
∴$\frac{r}{2}$|PF₁|=$\frac{r}{2}$|PF₂|+$\frac{r}{4}$|F₁F₂|，
兩邊約去$\frac{r}{2}$得：|PF₁|=|PF₂|+$\frac{1}{2}$|F₁F₂|，
∴|PF₁|-|PF₂|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|，
根據(jù)雙曲線定義，得|PF₁|-|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c，
∴2a=c⇒離心率為e=2，
故選：C．

點評 本題將三角形的內(nèi)切圓放入到雙曲線當(dāng)中，用來求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的基本性質(zhì)、三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)和面積計算公式等知識點，屬于中檔題．