如圖1,在邊長為3的等邊三角形ABC中,E,F,P分別為AB,AC,BC邊上的點(diǎn),且滿足AE=FC=CP=1,將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,如圖2,使平面A1EF⊥平面FEBP,連接A1B,A1P,

(1)求證:A1E⊥PF.

(2)若Q為A1B中點(diǎn),求證:PQ∥平面A1EF.

【證明】(1)在△AEF中,因?yàn)锳E=1,AF=2,∠A=60°,

由余弦定理得EF==,

所以AE2+EF2=AF2=4,所以EF⊥AE.

所以在題干圖2中有A1E⊥EF.

因?yàn)槠矫鍭1EF⊥平面FEBP,平面A1EF∩平面FEBP=EF,A1E⊂平面A1EF,

所以A1E⊥平面FEBP.所以A1E⊥PF.

(2)在題干圖1△ABC中,因?yàn)?sub>==,設(shè)BE的中點(diǎn)為H,連接PH,QH,

所以PF∥BE,且PF=EH,所以四邊形PFEH為平行四邊形,所以PH∥EF,

PH⊄平面A1EF,EF⊂平面A1EF,所以PH∥平面A1EF,

又QH∥A1E,QH⊄平面A1EF,A1E⊂平面A1EF,所以QH∥平面A1EF.

QH∩PH=H,所以平面A1EF∥平面QHP,

PQ⊂平面QHP,所以PQ∥平面A1EF.

練習(xí)冊系列答案
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（2013•汕頭二模）如圖，在邊長為3的等邊三角形ABC中，E，F(xiàn)，P分別為AB，AC，BC邊上的點(diǎn)，且滿足AE=FC=CP=1，將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，如圖，使平面A1EF⊥平面FEBP，連結(jié)A1B，A1P，
（1）求證：A1E⊥PF；
（2）若Q為A1B中點(diǎn)，求證：PQ∥平面A1EF．

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（Ⅰ）求證：C1F∥平面B1GE；
（Ⅱ）求證：PF⊥平面B1EF．

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如圖，在邊長為3的正三角形ABC中，G、F為邊AC的三等分點(diǎn)，E、P分別是AB、BC邊上的點(diǎn)，滿足AE=CP=1，今將△BEP，△CFP分別沿EP，F(xiàn)P向上折起，使邊BP與邊CP所在的直線重合，B，C折后的對應(yīng)點(diǎn)分別記為B1，C1．
（Ⅰ）求證：C1F∥平面B1GE；
（Ⅱ）求證：PF⊥平面B1EF．

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（1）求證：A1E⊥PF；
（2）若Q為A1B中點(diǎn)，求證：PQ∥平面A1EF．

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