Question

如圖，在邊長為3的正三角形ABC中，G、F為邊AC的三等分點，E、P分別是AB、BC邊上的點，滿足AE=CP=1，今將△BEP，△CFP分別沿EP，F(xiàn)P向上折起，使邊BP與邊CP所在的直線重合，B，C折后的對應點分別記為B₁，C₁．
（Ⅰ）求證：C₁F∥平面B₁GE；
（Ⅱ）求證：PF⊥平面B₁EF．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取EP的中點D，連接FD、C₁D、C₁F．利用平行線的性質(zhì)，證出△B₁EP中EP∥GF且EP=GF，從而得到四邊形GEDF為平行四邊形，得FD∥GE．結合DC₁∥EB₁且DC₁、FD是平面DFC₁內(nèi)的相交直線，GE、B₁E是平面B₁GE內(nèi)的相交直線，得到平面DFC₁∥平面B₁GE，從而證出C₁F∥平面B₁GE．
（II）連接EF，B₁F，由△BEP內(nèi)由余弦定理算出EF²=3，可得FP²+EF²=EP²，得PF⊥EF．根據(jù)△PB₁F的中線C₁F=PB₁，證出B₁F⊥PF，結合線面垂直的判定定理，即可證出PF⊥平面B₁EF．
解答：解：（Ⅰ）取EP的中點D，連接FD、C₁D、C₁F．
∵BC=3，CP=1，∴折起后C₁為B₁P的中點．
∴在△B₁EP中，DC₁∥EB₁，…（1分）
又∵AB=BC=AC=3，AE=CP=1，
∴，∴EP=2且EP∥GF．…（2分）
∵G，F(xiàn)為AC的三等分點，∴GF=1．
又∵，∴GF=ED，…（3分）
∴四邊形GEDF為平行四邊形．
∴FD∥GE．…（4分）
又∵DC₁∩FD=D，GE∩B₁E=E，
∴平面DFC₁∥平面B₁GE．…（5分）
又∵C₁F?平面DFC₁
∴C₁F∥平面B₁GE．…（6分）
（Ⅱ）連接EF，B₁F，由已知得∠EPF=60°，且FP=1，EP=2，
由余弦定理，得EF²=1²+2²-2×1×2×cos60°=3
∴FP²+EF²=EP²，可得PF⊥EF．…（8分）
∵B₁C₁=PC₁=1，C₁F=1，得FC₁=B₁C₁=PC₁，
∴△PB₁F的中線C₁F=PB₁，可得△PB₁F是直角三角形，即B₁F⊥PF．…（10分）
∵EF∩B₁F=F，EF、B₁F?平面B₁EF
∴PF⊥平面B₁EF．…（12分）
點評：本題以折疊問題為載體，利用面面平行證明線面平行，并證明線面垂直．著重考查了三角形中位線定理、直角三角形的判定、空間線面平行和線面垂直的判定定理等知識，屬于中檔題．