Question

若{a_n}為等比數(shù)列，則下列數(shù)列中：為等比數(shù)列的有

（1）（4）

．
（1）{pa_n}    
（2）{pa_n+q}     
（3）{na_n}    
（4）{a_n²}    
（5）{a_n+a_n+1}（其中p，q為非零常數(shù)）

Answer 1

分析：根據(jù)已知中等比數(shù)列{a_n}，我們可以判斷五個(gè)選項(xiàng)中的數(shù)列中的后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值是否為定值，進(jìn)而得到答案．

解答：解：（1）設(shè)c_n=pa_n，則

cn+1

cn

=

pan+1

pan

=q，故（1）正確；
（2）設(shè)c_n=pa_n+q，則

cn+1

cn

=

pan+1+q

pan+q

≠常數(shù)，故（2）錯(cuò)誤；
（3）設(shè)c_n=na_n，則

cn+1

cn

=

(n+1)an+1

nan

=

n+1

n

q≠常數(shù)，故（3）錯(cuò)誤；
（4）設(shè)b_n=a_n2，則

bn+1

bn

=

an+12

an2

=(

an+1

an

)2=q²，∴{a_n²}成等比數(shù)列，故（4）正確；
（5）設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，由題意知a_n=a₁q^n-1，a_n+1=a₁qⁿ，
a_n+a_n+1=a₁q^n-1+a₁qⁿ=a₁qⁿ（

1

q

+1
a_n+1+a_n+2=a₁qⁿ+a₁qⁿ⁺¹=a₁qⁿ（1+q）
當(dāng)q=-1時(shí)，數(shù)列{a_n+a_n+1}為a_n=0的一個(gè)常數(shù)列，是一個(gè)等差數(shù)列
當(dāng)q≠-1時(shí)

an+1+an+2

an+an+1

=

1 q +1

1+q

=

1

q

當(dāng)q≠±1時(shí)，

1

q

是一個(gè)不為1的常數(shù)，所以數(shù)列{a_n+a_n+1}是等比數(shù)列；
當(dāng)q=1時(shí)，

1

q

=1，所以數(shù)列{a_n+a_n+1}是一個(gè)常數(shù)列，它既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列
故答案為：（1）（4）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等比數(shù)列的確定及等比數(shù)列的性質(zhì)，其中根據(jù)等比數(shù)列的定義，判斷

an+1

an

是否為定值，是解答本題的關(guān)鍵．