已知橢圓C的方程為(a＞b＞0)，雙曲線的兩條漸近線為l1，l2，過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l，使l⊥l1，又l與l2交于P點(diǎn)，設(shè)l與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)由上至下依次為A、B(如圖)．

(1)

當(dāng)l1與l2夾角為60°，雙曲線焦距為4時(shí)，求橢圓C的方程和離心率．

(2)

求的最大值．

答案：
解析：

(1)

∵雙曲線的漸近線為y＝±，兩漸近線夾角為60°

又

∴∠POX＝30°，∴＝tan30°＝，∴a＝b……………………2分

又c＝2，a2＋b2＝c2，∴3b2＋b2＝4．

∴b2＝1，a2＝3…………………………………………(4分)

∴橢圓C的方程為，離心率．……………………6分

(2)

由已知l：y＝，與y＝聯(lián)立，解得P()　　 ……………………7分

∴P在橢圓的右準(zhǔn)線上，又A在線段FP上，

設(shè)A分

將A點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，得

等式兩邊同除以a4，

∴≤－2

∴當(dāng)2－

即的最大值為……………………14分


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a≥2b＞0)．
（1）求橢圓C的離心率的取值范圍；
（2）若橢圓C與橢圓2x2+5y2=50有相同的焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)M（4，1），求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C的方程為
x2
a2
+ 
y2
b2
=1（a＞b＞0），稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，半徑為
a2+b2
的圓為橢圓C的“伴隨圓”，橢圓C的短軸長(zhǎng)為2，離心率為
6
3
．
（Ⅰ）求橢圓C及其“伴隨圓”的方程；
（Ⅱ）若直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，與其“伴隨圓”交于C，D兩點(diǎn)，當(dāng)|CD|=
13
 時(shí)，求△AOB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•泉州模擬）已知橢圓C的方程為：
x2
a2
+
y2
2
=1 (a＞0)，其焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=
2
2
．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x0，y0）滿足
OP
=
OM
+2
ON
，其中M，N是橢圓C上的點(diǎn)，直線OM與ON的斜率之積為-
1
2
，求證：x02+2
y
2
0
為定值．
（3）在（2）的條件下，問(wèn)：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)A，B，使得|PA|+|PB|為定值？若存在，給出證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•衡陽(yáng)模擬）已知橢圓C的方程為
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0），離心率e=
2
2
，上焦點(diǎn)到直線y=
a2
c
的距離為
2
2
，直線l與y軸交于一點(diǎn)P（0，m），與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A，B且
AP
=t
PB
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若
OA
+t
OB
=4
OP
，求m的取值范圍•

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C的方程為
x 2
4
+
y2
3
=1，過(guò)C的右焦點(diǎn)F的直線與C相交于A、B兩點(diǎn)，向量
m
=(-1，-4)，若向量
OA
-
OB
與
m
-
OF
共線，則直線AB的方程是（　�。�

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