Question

已知甲箱中有4個(gè)紅球和2個(gè)黑球，乙箱中有3個(gè)紅球和2個(gè)黑球，這些球除顏色外，完全相同，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)箱中各任取2個(gè)球．
（Ⅰ）求取出的4個(gè)球均為紅球的概率；
（Ⅱ）求取出的4個(gè)球中恰有3個(gè)黑球的概率；
（Ⅲ）設(shè)ξ為取出的4個(gè)球中，黑球的個(gè)數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)字期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）設(shè)“從甲箱內(nèi)取出的2個(gè)球均為紅球”為事件A，“從乙箱內(nèi)取出2個(gè)球均為紅球”為事件B，由事件A與B相互獨(dú)立，由此能求出取出的個(gè)球均為紅球的概率．
（Ⅱ）設(shè)“從甲箱中取出的2個(gè)球均為黑球，從乙箱中取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅球，1個(gè)是黑球”為事件C，
“從甲箱中取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅球，1個(gè)是黑球，從乙箱中取出的2個(gè)球均為黑球”為事件D，由事件C、D互斥，能墳出取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率．
（Ⅲ）ξ的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)字期望．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)“從甲箱內(nèi)取出的2個(gè)球均為紅球”為事件A，
“從乙箱內(nèi)取出2個(gè)球均為紅球”為事件B，
則P（A）=

C 2 4

C 2 6

=

2

5

，P（B）=

C 2 3

C 2 5

=

3

10

，
∵事件A與B相互獨(dú)立，∴P（A）P（B）=

2

5

×

3

10

=

3

25

，
∴取出的個(gè)球均為紅球的概率為

3

25

．
（Ⅱ）設(shè)“從甲箱中取出的2個(gè)球均為黑球，
從乙箱中取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅球，1個(gè)是黑球”為事件C，
“從甲箱中取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅球，1個(gè)是黑球，
從乙箱中取出的2個(gè)球均為黑球”為事件D，
則P（C）=

C 2 2

C 2 6

•

C 1 2 C 1 3

C 2 5

=

3

75

，P（D）=

C 1 2 C 1 4

C 2 6

•

C 2 2

C 2 5

=

4

75

，
∵事件C、D互斥，∴取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率：
p=

3

75

+

4

75

=

7

75

．
（Ⅲ）ξ的可能取值為0，1，2，3，4，
由（Ⅰ），（Ⅱ）得P（ξ=0）=

3

25

，P（ξ=3）=

7

75

，
P（ξ=1）=

C 1 2 C 1 4

C 2 6

•

C 2 3

C 2 5

+

C 2 4

C 2 6

•

C 1 3 C 1 2

C 2 5

=

2

5

，
P（ξ=2）=

1

C 2 6

•

C 2 3

C 2 5

+

C 2 4

C 2 6

•

1

C 2 5

+

C 1 4 C 1 2

C 2 6

•

C 1 2 C 1 3

C 2 5

=

57

150

，
P（ξ=4）=

1

C 2 6

•

1

C 2 5

=

1

150

，
ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	3 25	2 5	57 150	7 75	1 150

Eξ=0×

3

25

+1×

2

5

+2×

57

150

+3×

7

75

+4×

1

150

=

4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查隨機(jī)事件的概率的求法，以及求離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的方法，是中檔題．