【題目】在三棱拄中，側(cè)面，已知，，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）試在棱(不包含端點(diǎn))上確定一點(diǎn)的位置，使得；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下,求和平面所成角正弦值的大小.

【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析；（Ⅲ）

【解析】

試題（Ⅰ）欲證線面垂直，先考察線線垂直，易證，可試證，由題目給條件易想到利用勾股定理逆定理；（Ⅱ）要想在棱找到點(diǎn)，使得，易知，那么這時(shí)就需要使，這時(shí)就轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面幾何問(wèn)題：以矩形的邊為直徑作圓，與的公共點(diǎn)即為所求，易知只有一點(diǎn)即的中點(diǎn) ，將以上分析寫(xiě)成綜合法即可，找到這一點(diǎn)后，也可用別的方法證明，如勾股定理逆定理；（Ⅲ）求直線與平面所成的角，根據(jù)其定義，應(yīng)作出這條直線在平面中的射影，再求這條直線與其射影的夾角（三角函數(shù)值），本題可考慮點(diǎn)在平面的射影，易知平面與側(cè)面垂直，所以點(diǎn)在平面的射影必在兩平面的交線上，過(guò)做的垂線交于，則為所求的直線與平面的夾角.

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?/span>，，，所以，

，所以

因?yàn)?/span>側(cè)面，平面，所以，又，

所以，平面 4分

（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連接 ，，，等邊中，

同理，， ，所以，可得，所以

因?yàn)?/span>側(cè)面，平面，所以，且，

所以平面，所以； 8分

（Ⅲ）側(cè)面，平面，得平面平面，

過(guò)做的垂線交于，平面

連接，則為所求，

因?yàn)?/span> ，，所以 ，為的中點(diǎn) 得為的中點(diǎn)，

， 由（2）知 ，所以 13分

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)共有12道選擇題，每道題共有四個(gè)選項(xiàng)，且其中只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：每選對(duì)1道題得5分，不選或選錯(cuò)得0分. 在這次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，考生甲每道選擇題都按照規(guī)則作答，并能確定其中有9道題能選對(duì)；其余3道題無(wú)法確定正確選項(xiàng)，在這3道題中，恰有2道能排除兩個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)，另1題只能排除一個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng). 若考生甲做這3道題時(shí)，每道題都從不能排除的選項(xiàng)中隨機(jī)挑選一個(gè)選項(xiàng)作答，且各題作答互不影響.在本次測(cè)驗(yàn)中，考生甲選擇題所得的分?jǐn)?shù)記為

（1）求的概率；

（2）求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（）

（1）若，用“五點(diǎn)法”在給定的坐標(biāo)系中,畫(huà)出函數(shù)在[0,π]上的圖象．

（2）若偶函數(shù)，求

（3）在（2）的前提下，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求在的單調(diào)遞減區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2019年12月16日，公安部聯(lián)合阿里巴巴推出的“錢(qián)盾反詐機(jī)器人”正式上線，當(dāng)普通民眾接到電信網(wǎng)絡(luò)詐騙電話，公安部錢(qián)盾反詐預(yù)警系統(tǒng)預(yù)警到這一信息后，錢(qián)盾反詐機(jī)器人即自動(dòng)撥打潛在受害人的電話予以提醒，來(lái)電信息顯示為“公安反詐專(zhuān)號(hào)”.某法制自媒體通過(guò)自媒體調(diào)查民眾對(duì)這一信息的了解程度，從5000多參與調(diào)查者中隨機(jī)抽取200個(gè)樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)：男性不了解這一信息的有50人，了解這一信息的有80人，女性了解這一信息的有40人.

（1）完成下列列聯(lián)表，問(wèn)：能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下，認(rèn)為200個(gè)參與調(diào)查者是否了解這一信息與性別有關(guān)？

了解

不了解

合計(jì)

男性

女性

合計(jì)

（2）該自媒體對(duì)200個(gè)樣本中了解這一信息的調(diào)查者按照性別分組，用分層抽樣的方法抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3人給予一等獎(jiǎng)，另外3人給予二等獎(jiǎng)，求一等獎(jiǎng)與二等獎(jiǎng)獲得者都有女性的概率.

附：

P(K2≥k)

0.01

0.005

0.001

k

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】越野汽車(chē)輪胎的質(zhì)量是根據(jù)其正常使用的時(shí)間來(lái)衡量，使用時(shí)間越長(zhǎng)，表明質(zhì)量越好，且使用時(shí)間大于或等于6千小時(shí)的為優(yōu)質(zhì)品.現(xiàn)用，兩種不同型號(hào)的汽車(chē)輪胎做試驗(yàn)，各隨機(jī)抽取部分產(chǎn)品作為樣本，得到試驗(yàn)結(jié)果的頻率分布直方圖如圖所示，以上述試驗(yàn)結(jié)果中各組的頻率作為相應(yīng)的概率.

（1）現(xiàn)從大量的，兩種型號(hào)的輪胎中各隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，求其中至少有3件是優(yōu)質(zhì)品的概率；

（2）通過(guò)多年統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，型輪胎每件產(chǎn)品的利潤(rùn)（單位：元）與其使用時(shí)間（單位：千小時(shí)）的關(guān)系如下表：

使用時(shí)間（單位：千小時(shí)）

每件產(chǎn)品的利潤(rùn)（單位：元）

200

400

若從大量的型輪胎中隨機(jī)抽取兩件，其利潤(rùn)之和記為（單位：元），求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】函數(shù)，其中，.

（1）若為定值，求的最大值；

（2）求證：對(duì)任意，有 ；

（3）若，，求證：對(duì)任意，直線與曲線有唯一公共點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】以下說(shuō)法中，正確的是_____.（填上所有正確說(shuō)法的序號(hào)）：

①已知角終邊上一點(diǎn)，則；

②函數(shù)的最小正周期是；

③把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到的圖象；

④數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)；

⑤函數(shù)在上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圖是.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線.

（1）若拋物線和直線沒(méi)有公共點(diǎn)，求的取值范圍；

（2）若，且拋物線和直線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù) 是的一個(gè)極值點(diǎn).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.

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