Question

已知雙曲線C₁的兩漸近線方程為3x±2y=0，且經(jīng)過點(diǎn)P（3，

3 13

2

），
（1）求雙曲線C₁的方程和離心率；
（2）曲線C₂是以C₁的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)、離心率的倒數(shù)為離心率的橢圓，求橢圓C₂的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）將雙曲線的方程設(shè)為9x²-4y²=λ（λ≠0），將點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得λ的值，進(jìn)而可得雙曲線C₁的方程和離心率；
（2）求出橢圓C₂的焦點(diǎn)為（0，±3），離心率為

3

13

，可得a，b，即可求橢圓C₂的方程．

解答： 解：（1）∵雙曲線C₁的兩漸近線方程為3x±2y=0，
∴設(shè)雙曲線C₁的方程為：9x²-4y²=λ（λ≠0），
∵雙曲線C₁經(jīng)過點(diǎn)P（3，

3 13

2

），
∴λ=9×9-4×

9×13

4

=-36，
故雙曲線C₁的方程為：

y2

9

-

x2

4

=1，離心率e=

c

a

=

13

3

；
（2）橢圓C₂的焦點(diǎn)為（0，±3），離心率為

3

13

，
∴c=3，a=

13

，
∴b=2，
∴橢圓C₂的方程

y2

13

+

x2

4

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程，涉及雙曲線的方程與其漸近線的方程之間的關(guān)系，考查橢圓方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．