Question

已知雙曲線C：的離心率為，左頂點(diǎn)為（-1，0）。

（1）求雙曲線方程；

（2）已知直線x-y+m=0與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且線段AB的中點(diǎn)在圓上，求m的值和線段AB的長(zhǎng)。

 

Answer 1

（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，又左頂點(diǎn)為，所以，因此可解得， ，從而求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（2）設(shè)，中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則

聯(lián)立方程組：消去得關(guān)于的一元二次方程，在判別式大于零的條件下，由韋達(dá)定理可用含參數(shù)的表達(dá)式表示和，進(jìn)而表示和，由于點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，可據(jù)此列方程解得的值；最后根據(jù)弦長(zhǎng)公式求弦的長(zhǎng).

試題解析：

（1）依題意所以 ..2分

所以雙曲線方程為 ..4分

（2）由得， .6分

∴，

又∵中點(diǎn)在直線上，所以可得中點(diǎn)坐標(biāo)為（m,2m）,

代入得 .8分

|AB|=。 12分

考點(diǎn)：1、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線與雙曲線的位置關(guān)系；2、弦長(zhǎng)公式.