【題目】已知橢圓： 的離心率為，橢圓的四個頂點圍成的四邊形的面積為4.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）直線與橢圓交于， 兩點， 的中點在圓上，求（為坐標原點）面積的最大值.

【答案】（Ⅰ）.

（Ⅱ）1.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意知， ，得， ，代入橢圓的方程，再由橢圓的四個頂點圍成的四邊形的面積得，求得的值，即可得到橢圓的方程；

（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，得到，

當直線的斜率存在時，設(shè): ，聯(lián)立方程組，求得，求得中點的坐標，代入圓的方程，得，再由弦長公式和點到直線的距離公式，即可得到的表達式，即可求解面積的最大值．

試題解析：

（Ⅰ）由題意知，得， ，

所以，

由橢圓的四個頂點圍成的四邊形的面積為4，得，

所以， ，橢圓的標準方程為.

（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，

令，得， ，

當直線的斜率存在時，設(shè): ， ， ， ，

由，得，

則， ，

所以， ，

將代入，得，

又因為 ，

原點到直線的距離，

所以

.

當且僅當，即時取等號.

綜上所述， 面積的最大值為1.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】甲、乙、丙、丁四名同學在回憶同一個函數(shù)，甲說：“我記得該函數(shù)定義域為，還是奇函數(shù)”.乙說：“我記得該函數(shù)為偶函數(shù)，值域不是”.丙說：“我記得該函數(shù)定義域為，還是單調(diào)函數(shù)”.丁說：“我記得該函數(shù)的圖象有對稱軸，值域是”，若每個人的話都只對了一半，則下列函數(shù)中不可能是該函數(shù)的是（ ）

A. B.

C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】207年8月8日晚我國四川九賽溝縣發(fā)生了7.0級地震，為了解與掌握一些基本的地震安全防護知識，某小學在9月份開學初對全校學生進行了為期一周的知識講座，事后并進行了測試（滿分100分），根據(jù)測試成績評定為“合格”（60分以上包含60分）、“不合格”兩個等級，同時對相應等級進行量化：“合格”定為10分，“不合格”定為5分.現(xiàn)隨機抽取部分學生的答卷，統(tǒng)計結(jié)果及對應的頻率分布直方圖如圖所示：

等級

不合格

合格

得分

頻數(shù)

6

24

（1）求的值；

（2）用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中抽取10人進行座談，現(xiàn)再從這10人中任選4人，記所選4人的量化總分為，求的分布列及數(shù)學期望；

（3）設(shè)函數(shù)（其中表示的方差）是評估安全教育方案成效的一種模擬函數(shù).當時，認定教育方案是有效的；否則認定教育方案應需調(diào)整，試以此函數(shù)為參考依據(jù).在（2）的條件下，判斷該校是否應調(diào)整安全教育方案？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】現(xiàn)需要設(shè)計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部分的形狀是正四棱錐，下部分的形狀是正四棱柱（如圖所示），并要求正四棱柱的高是正四棱錐的高的4倍.

（1）若則倉庫的容積是多少？

（2）若正四棱錐的側(cè)棱長為，則當為多少時，倉庫的容積最大？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，點的極坐標為，直線的極坐標方程為，且過點，曲線的參數(shù)方程為 (為參數(shù)).

(Ⅰ)求曲線上的點到直線的距離的最大值；

(Ⅱ)過點與直線平行的直線與曲線 交于兩點，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]

在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點， 軸的正半軸為極軸，以相同的長度單位建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（Ⅰ）求直線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）已知，直線與曲線交于， 兩點，若，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某地植被面積 （公頃）與當?shù)貧鉁叵陆档亩葦?shù)（）之間有如下的對應數(shù)據(jù)：

（公頃）

20

40

50

60

80

（）

3

4

4

4

5

（1）請用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；

（2）根據(jù)（1）中所求線性回歸方程，如果植被面積為200公頃，那么下降的氣溫大約是多少？

參考公式:用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式：，．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：－y＋3＋＝0和圓：＋＋8x＋F＝0．若直線l被圓截得的弦長為．

（1）求圓的方程；

（2）設(shè)圓和x軸相交于A，B兩點，點P為圓上不同于A，B的任意一點，直線PA，PB交y軸于M，N兩點．當點P變化時，以MN為直徑的圓是否經(jīng)過圓內(nèi)一定點？請證明你的結(jié)論；

（3）若△RST的頂點R在直線x＝－1上，點S，T在圓上，且直線RS過圓心，∠SRT＝，求點R的縱坐標的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱中，點是線段上的動點.

（1）線段上是否存在點，使得平面？若存在，請寫出值，并證明此時，平面；若不存在，請說明理由；

（2）已知平面平面，求證：.

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