Question

已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足f(x+2)=-

1

f(x)

，則“f（x）為[-3，-1]上的減函數(shù)”是“f（x）為[4，7]上的增函數(shù)”的（　　）

A．充分而不必要的條件

B．必要而不充分的條件

C．充要條件

D．即不充分也不必要的條件

Answer 1

分析：根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)等式f(x+2)=-

1

f(x)

，求出f（x）的周期，偶函數(shù)的圖象是關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)的單調(diào)性在x＞0和x＜0是相反的，從而進(jìn)行判斷；

解答：解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
∵f(x+2)=-

1

f(x)

，可得f（x+4）=-

1

f(x+2)

，
∴f（x+4）=-

1

f(x+2)

=-

1

- 1 f(x)

=f（x），
∴函數(shù)的周期為T=4，
若“f（x）為[-3，-1]上的減函數(shù)，可得f（x）在[1，3]上是增函數(shù)，同理再加一個(gè)周期4，可得
f（x）在[4，7]上為增函數(shù)，
若“f（x）為[5，7]上的增函數(shù)，減去兩個(gè)周期，
∴f（x）在[-3，-1]上為減函數(shù)，
∴“f（x）為[-3，-1]上的減函數(shù)”是“f（x）為[4，7]上的增函數(shù)的充要條件；
故選C；

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查偶函數(shù)的性質(zhì)及其單調(diào)性的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題，考查的知識(shí)點(diǎn)比較全面；