如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,,D是棱AA1的中點(diǎn),DC1⊥BD
(1)證明:DC1⊥BC
(2)求二面角A1-BD-C1的大。

【答案】分析:(1)證明DC1⊥BC,只需證明DC1⊥面BCD,即證明DC1⊥DC,DC1⊥BD;
(2)證明BC⊥面ACC1A1,可得BC⊥AC取A1B1的中點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BD于點(diǎn)H,連接C1O,C1H,可得點(diǎn)H與點(diǎn)D重合且∠C1DO是二面角A1-BD-C1的平面角,由此可求二面角A1-BD-C1的大。
解答:(1)證明:在Rt△DAC中,AD=AC,∴∠ADC=45°
同理:∠A1DC1=45°,∴∠CDC1=90°
∴DC1⊥DC,DC1⊥BD
∵DC∩BD=D
∴DC1⊥面BCD
∵BC?面BCD
∴DC1⊥BC
(2)解:∵DC1⊥BC,CC1⊥BC,DC1∩CC1=C1,∴BC⊥面ACC1A1,
∵AC?面ACC1A1,∴BC⊥AC
取A1B1的中點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BD于點(diǎn)H,連接C1O,OH
∵A1C1=B1C1,∴C1O⊥A1B1,
∵面A1B1C1⊥面A1BD,面A1B1C1∩面A1BD=A1B1
∴C1O⊥面A1BD
而B(niǎo)D?面A1BD
∴BD⊥C1O,
∵OH⊥BD,C1O∩OH=O,
∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD,∴點(diǎn)H與點(diǎn)D重合且∠C1DO是二面角A1-BD-C1的平面角
設(shè)AC=a,則,
∴sin∠C1DO=
∴∠C1DO=30°
即二面角A1-BD-C1的大小為30°
點(diǎn)評(píng):本題考查線面垂直,考查面面角,解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直的判定,正確作出面面角,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=1,CB=
2
,側(cè)棱AA1=1,側(cè)面AA1B1B的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)D,B1C1的中點(diǎn)為M,求證:CD⊥平面BDM.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D為A1C1的中點(diǎn),E為B1C的中點(diǎn).
(1)求直線BE與A1C所成的角;
(2)在線段AA1中上是否存在點(diǎn)F,使CF⊥平面B1DF,若存在,求出|
AF
|;若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖在直三棱柱ABC-A1B1C1中∠ACB=90°,AA1=2,AC=BC=1,則異面直線A1B與AC所成角的余弦值是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1=2,M,N分別為AC,B1C1的中點(diǎn).
(Ⅰ)求線段MN的長(zhǎng);
(Ⅱ)求證:MN∥平面ABB1A1;
(Ⅲ)線段CC1上是否存在點(diǎn)Q,使A1B⊥平面MNQ?說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=a,AA1=2a,D棱B1B的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:A1C1∥平面ACD;
(Ⅱ)求異面直線AC與A1D所成角的大;
(Ⅲ)證明:直線A1D⊥平面ADC.

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