Question

2．求下列函數(shù)的定義域和值域．
（1）y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{1}{x-3}}$；
（2）y=3^-|x|；
（3）y=2${\;}^{2x-{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）直接由指數(shù)不等于0求得原函數(shù)的值域；
（2）由-|x|≤0，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域；
（3）令t=2x-x²換元，利用配方法求出t的范圍，然后結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得答案．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{x-3}≠0$，
∴（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{1}{x-3}}$≠1，則函數(shù)y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{1}{x-3}}$的值域?yàn)椋?，1）∪（1，+∞）；
（2）∵-|x|≤0，
∴3^-|x|∈（0，1]，則函數(shù)y=3^-|x|的值域?yàn)椋?，1]；
（3）∵t=2x-x²=-（x-1）²+1≤1，
∴2${\;}^{2x-{x}^{2}}$∈（0，2]．
即函數(shù)y=2${\;}^{2x-{x}^{2}}$的值域?yàn)椋?，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的值域及其求法，考查了復(fù)合函數(shù)的值域，是基礎(chǔ)題．