Question

9．如圖1，已知四邊形ABFD為直角梯形，$AB∥DF，∠ADF=\frac{π}{2}，△ADE$為等邊三角形，AD=DF=2AF=2，C為DF的質(zhì)點，如圖2，將平面AED、BCF分別沿AD、BC折起，使得平面AED⊥平面ABCD，平面BCF⊥平面ABCD，連接EF、DF，設G為AE上任意一點．
（1）證明：DG∥平面BCF；
（2）求折起后的各平面圍成的幾何體的體積．

Answer 1

分析 （1）推導出CD⊥平面AED，CD⊥平面BCF，從而平面AED∥平面BCF，由此能證明DG∥平面BCF．
（2）幾何體由四棱錐F-ABCD和三棱錐F-ADE組成，分別求出體積，相加可得答案．

解答 證明：（1）由題意知BC⊥DC，
∵平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，
又CD⊥AD，∴CD⊥平面AED，
同理，CD⊥平面BCF，
∴平面AED∥平面BCF，
又DC?平面AED，
∴DG∥平面BCF．
（2）幾何體由四棱錐F-ABCD和三棱錐F-ADE組成，
∵FC⊥BC，F(xiàn)C⊥CD，CD∩BC=C，
∴FC⊥平面ABCD，
∴FC為四棱錐F-ABCD的高，
故V_F-ABCD=$\frac{1}{3}$×2×1×1=$\frac{2}{3}$；
又∵平面AED∥平面BCF，CF?平面BCF，
∴CF∥平面AED，
∴點F到平面AED的距離等于C到平面AED的距離，
由（1）得CD⊥平面AED，
∴F到平面AED的距離等于CD=1，
故V_F-ADE=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
故幾何體的體積V=V_F-ABCD+V_F-ADE=$\frac{2+\sqrt{3}}{3}$

點評 本題考查線面平行的證明，棱錐的體積運算，難度中檔．