如圖, 平面平面, 是以為斜邊的等腰直角三角形, 分別為, , 的中點, , ．

(1) 設(shè)是的中點, 證明：平面；

(2) 證明：在內(nèi)存在一點, 使平面, 并求點到, 的距離．

 

【答案】

（1）建立直角坐標系，利用向量的數(shù)量積為零來得到證明。

（2）到, 的距離為．

【解析】

試題分析：證明：

（I）  如圖, 連結(jié)OP, 以O(shè)為坐標原點, 分別以O(shè)B、OC、OP所在直線為軸, 軸, 軸, 建立空間直角　

坐標系O,  

,  -2分

由題意得, 因,

因此平面BOE的法向量為,  4分

得, 又直線不在平面內(nèi),

因此有平面 6分

（II）設(shè)點M的坐標為, 則, 因為平面BOE, 所以有, 因此有, 即點M的坐標為,  9分

在平面直角坐標系中, 的內(nèi)部區(qū)域滿足不等式組, 經(jīng)檢驗, 點M的坐標滿足上述不等式組, 所以在內(nèi)存在一點, 使平面,  11分

由點M的坐標得點到, 的距離為．     12分

考點：距離和垂直的證明

點評：主要是考查了空間直角坐標系中直線的垂直，以及點到直線距離的求解，屬于中檔題。

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（理科）如圖的多面體是底面為平行四邊形的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，經(jīng)平面AEFG所截后得到的圖形．其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°．
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（Ⅰ）求證：BD⊥平面ADG；
（Ⅱ）求平面AEFG與平面ABCD所成銳二面角的余弦值．

（文科）如圖，AB為圓O的直徑，點E、F在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圓O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．
（Ⅰ）求證：AF⊥平面CBF；
（Ⅱ）設(shè)FC的中點為M，求證：OM∥平面DAF．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)精英家教網(wǎng)如圖，在矩形ABC中，AB=4，AD=，E為AB的中點，現(xiàn)將△ADE沿直線DE翻折成△A′DE，使A′在平面BCDE的射影在DE上，F(xiàn)為線段A′D的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面A′BC；
（Ⅱ）求直線A'C與平面A′DE所成角的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖（1）直線l∥AB，且與CA，CB分別相交于點E，F(xiàn)，EF與AB間的距離是d，點P是線段EF上任意一點，Q是線段AB上任意一點，則|PQ|的最小值等于d．類比上述結(jié)論我們可以得到：在圖（2）中，平面α∥平面ABC，且與DA，DB，DC分別相交于點E，F(xiàn)，G，平面α與平面ABC間的距離是m，
a，b分別是平面α與平面ABC內(nèi)的任意一條直線，則a，b間距離的最小值是m．
或P，Q分別是平面α與平面ABC內(nèi)的任意一點，則P，Q間距離的最小值是m．
a，b分別是平面α與平面ABC內(nèi)的任意一條直線，則a，b間距離的最小值是m．
或P，Q分別是平面α與平面ABC內(nèi)的任意一點，則P，Q間距離的最小值是m．
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四邊形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD=
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AE=2，O、M分別為CE、AB的中點．
（1）求異面直線AB與CE所成角的大小．
（2）求直線CD和平面ODM所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，平面α⊥平面β，α∩β=l，DA?α，BC?α，且DA⊥l于A，BC⊥l于B，AD=4，BC=8，AB=6，點P是平面β內(nèi)不在l上的一動點，記PD與平面β所成角為θ1，PC與平面β所成角為θ2．若θ1=θ2，則△PAB的面積的最大值是
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．

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