Question

如圖, 平面平面, 是以為斜邊的等腰直角三角形, 分別為, , 的中點(diǎn), , ．

(1) 設(shè)是的中點(diǎn), 證明：平面；

(2) 證明：在內(nèi)存在一點(diǎn), 使平面, 并求點(diǎn)到, 的距離．

 

Answer 1

【答案】

（1）建立直角坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積為零來得到證明。

（2）到, 的距離為．

【解析】

試題分析：證明：

（I）  如圖, 連結(jié)OP, 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn), 分別以O(shè)B、OC、OP所在直線為軸, 軸, 軸, 建立空間直角　

坐標(biāo)系O,  

,  -2分

由題意得, 因,

因此平面BOE的法向量為,  4分

得, 又直線不在平面內(nèi),

因此有平面 6分

（II）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為, 則, 因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081212582213591427/SYS201308121258517639907649_DA.files/image023.png">平面BOE, 所以有, 因此有, 即點(diǎn)M的坐標(biāo)為,  9分

在平面直角坐標(biāo)系中, 的內(nèi)部區(qū)域滿足不等式組, 經(jīng)檢驗(yàn), 點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足上述不等式組, 所以在內(nèi)存在一點(diǎn), 使平面,  11分

由點(diǎn)M的坐標(biāo)得點(diǎn)到, 的距離為．     12分

考點(diǎn)：距離和垂直的證明

點(diǎn)評：主要是考查了空間直角坐標(biāo)系中直線的垂直，以及點(diǎn)到直線距離的求解，屬于中檔題。